Interpretación intuitiva del laplaciano

Question

Al igual que el gradiente es "la dirección de subida más pronunciada", y la divergencia es "la cantidad de cosas creadas en un punto", ¿existe una buena interpretación del laplaciano (también conocido como divergencia del gradiente)?

Answer 1

Supongamos que la función $f$ es $C^2$ en un barrio de ${\bf 0}\in{\mathbb R}^n$ . Utilizando la expansión de Taylor de $f$ en ${\bf 0}$ se puede demostrar lo siguiente: $$\Delta f({\bf 0}) =\lim_{r\to 0+}\ {2n\over r^2}{1\over \omega(S_r)} \int\nolimits_{S_r}\bigl(f({\bf x})-f({\bf 0})\bigr)\ {\rm d}\omega({\bf x})\ .\qquad (*)$$ Esta fórmula dice que $\Delta f({\bf 0})$ es "esencialmente" (es decir, hasta el factor de escala ${2n \over r^2}$ ) igual a la diferencia media $f({\bf x})-f({\bf 0})$ sobre pequeñas esferas alrededor de ${\bf 0}$ .

Utilizando esta interpretación se obtiene, por ejemplo, una comprensión intuitiva de la ecuación del calor $${\partial u\over\partial t}=a^2\ \Delta u\ ,$$ a saber: Si se promedia sobre pequeñas esferas alrededor de un punto ${\bf p}$ está más caliente que en ${\bf p}$ mismo, entonces en el siguiente segundo la temperatura en ${\bf p}$ se elevará.

Dado el interés de la fórmula anterior $(*)$ Aquí hay algunas pistas para la prueba: Por el teorema de Taylor se tiene $$f({\bf x})-f({\bf 0})= \sum_{i=1}^n f_{.i} x_i +{1\over2}\sum_{i,k} f_{.ik} x_i x_k + o(|{\bf x}|^2)\qquad({\bf x}\to{\bf 0}) .$$ Aquí el $f_{.i}$ y el $f_{.ik}$ son las derivadas parciales de $f$ evaluado en ${\bf 0}$ por lo que son constantes. Ahora integramos esto sobre $S_r$ con respecto a la medida de la superficie ${\rm d}\omega$ y obtener $$\int\nolimits_{S_r}\bigl(f({\bf x})-f({\bf 0})\bigr)\ {\rm d}\omega({\bf x})={1\over2}\sum_{i}f_{.ii}\int\nolimits_{S_r}x_i^2\ {\rm d}\omega({\bf x}) +o\bigl(r^{2+(n-1)}\bigr) \qquad(r\to0+)\ ,$$ porque todos los demás términos son Impares en al menos una variable. Las integrales $\int\nolimits_{S_r}x_i^2\ {\rm d}\omega({\bf x})$ son todos iguales; por lo tanto, tenemos $$\int\nolimits_{S_r}x_i^2\ {\rm d}\omega({\bf x})={1\over n}\int\nolimits_{S_r}\sum_k x_k^2\ {\rm d}\omega({\bf x})={r^2\over n}\omega(S_r)\qquad(1\leq i\leq n)\ .$$ Si lo juntamos todo, obtenemos $$\int\nolimits_{S_r}\bigl(f({\bf x})-f({\bf 0})\bigr)\ {\rm d}\omega({\bf x})={r^2\over 2n}\omega(S_r)\Delta f({\bf 0}) +o(r^{n+1})\qquad(r\to 0+)\ ,$$ y resolviendo para $\Delta f({\bf 0})$ obtenemos la fórmula indicada.

Para una demostración usando el teorema de Gauss ver aquí:

Buena forma de pensar en el operador de Laplace... pero ¿cuál es la prueba?

Answer 2

Se comporta como un operador de media local. Esto puede verse fácilmente al considerar una aproximación por diferencia finita al laplaciano:

$$\nabla^2 f(x,y) \approx \frac{f(x+h,y) + f(x-h,y) + f(x,y+h) + f(x,y - h) - 4f(x,y)}{h^2}$$

Puedes reescribir esto en notación vectorial como

$$\nabla^2 f(x,y) \approx \frac{1}{h^2} \sum_{\mathbf{h}} f(\mathbf{x+h}) - f(\mathbf{x})$$

donde la suma es sobre los vectores en el $x$ , $-x$ , $y$ y $-y$ direcciones, y $h=||\mathbf{h}||$ . Las aproximaciones de orden superior al laplaciano implicarán el promedio de las tasas de cambio en más direcciones.

Por lo tanto, se puede pensar que el Laplaciano se comporta como una "tasa media de cambio". Como se señala en la respuesta de Glen Wheeler, la tasa media de cambio puede ser cero incluso cuando hay una curvatura significativa en un punto, por ejemplo, como en la función $f(x,y)=x^2-y^2$ .

En el procesamiento de imágenes, un laplaciano discreto (donde $h$ es un píxel en la definición que he dado más arriba) se puede utilizar como un filtro de detección de bordes rudimentario. Se aproxima a cero en las regiones en las que la imagen varía suavemente, y tiene valores grandes en las regiones en las que la imagen tiene transiciones bruscas de baja a alta intensidad.

En física, el laplaciano se interpreta como un operador de difusión, como en la ecuación

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla^2 u$$

Esto dice que la tasa de cambio de $u$ en tiempo viene dada por la tasa de variación media de $u$ en espacio . Si interpretamos $u$ como temperatura (y por tanto $\partial u/\partial t$ es la tasa de cambio de la temperatura) entonces vemos que hay más intercambio de calor en las regiones donde la temperatura es muy variable, y menos intercambio de calor cuando la temperatura varía suavemente.

Answer 3

El laplaciano es también la traza de la matriz hessiana (la matriz de derivadas parciales de segundo orden). Como la traza de una matriz es invariante bajo un cambio de base, entonces el laplaciano no cambia si se hace un cambio de base. Por ejemplo, si se trabaja en $\mathbb{R}^2$ entonces $$\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$$ en coordenadas cartesianas y $$\Delta f=\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\partial^2 f}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial\theta^2}$$ en coordenadas polares pero en cada punto $(x,y)$ o $(r,\theta)$ este es el mismo valor.

[La matriz hessiana contiene información sobre la forma en que su función se curva alrededor de algún punto. Como es simétrica (por el teorema de Schwarz) y real, puedes diagonalizarla y así el laplaciano es también la suma de los valores propios de la hessiana, y estos valores propios son importantes para detectar qué tipo de curvatura tienes localmente].

Answer 4

Desde un punto de vista probabilístico, el laplaciano es de gran importancia ya que surge como generador (infinitesimal) del movimiento browniano (incluso en las variedades).

A $d$ -El movimiento browniano (o proceso de Wiener) es un (n casi seguro) proceso estocástico continuo con incrementos estacionarios e independientes tal que $B_t - B_s \sim \mathcal N(0,(t-s))^{\otimes d}$ se distribuyen normalmente, es decir, tienen una densidad gaussiana

$$p_{t-s}(x,\mathrm dy) = \frac 1{\sqrt{2\pi(t-s)}^d} \exp\left( -\frac12 \frac{|x-y|^2}{t-s} \right) \mathrm dy.$$

El generador (infinitesimal) de un semigrupo de contracción fuertemente continua $(P_t)_{t\geq 0}$ en un espacio de Banach es el operador \begin{align} \mathbf A u := \lim_{t\to 0} \frac{P_t u - u}{t}, \end{align} donde el dominio $\mathcal D(\mathbf A)$ de $\mathbf A$ es el conjunto de funciones $u$ donde existe el límite. Por la fórmula de Taylor esto puede escribirse alternativamente como \begin{align*} P_t u = u + t \mathbf A u + o(t), \end{align*} para que el generador $\mathbf A$ da la aproximación de primer orden a $P_t$ para los pequeños $t$ . Se puede demostrar que \begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} P_t u(x) = \mathbf A P_t u(x) = P_t \mathbf A u(x), \end{align} es decir, el generador es la derivada temporal de la cartografía $t\mapsto P_t u(x)$ . Leyendo esto como una ecuación diferencial parcial vemos que $u(t,x) := P_t f(x)$ es una solución de \begin{align} \partial_t u(t,x) = \mathbf A u(t,x), \quad u(0,x) = f(x). \end{align}

Desde un punto de vista probabilístico se define el semigrupo de transición $$P_t u(x) := \mathbb E^x u(B_t) = \frac 1{\sqrt{2\pi t}^d} \int_{\mathbb R^d} \exp\left( - \frac{|x-y|^2}{2t} \right) \mathrm dy.$$ Así, $P_t u(x) = u * p_t(x)$ es una convolución del núcleo de calor, por lo tanto una solución de la ecuación de calor. En otras palabras \begin{align} \mathbb E^x u(X_t) \approx u(x) + \mathbf A P_t u(x). \end{align} Así que, esencialmente, el generador describe el movimiento del proceso en un intervalo de tiempo infinitesimal.

Se puede demostrar que para todo semigrupo de Feller el límite existe en $(C_\infty, \Vert \cdot \Vert_\infty)$ y, por tanto, para todo proceso de Markov. La razón probabilística más importante es que para cada proceso de Feller adaptado $(X_t, \mathcal F_t)_{t\geq 0}$ en $\mathbb R^d$ el proceso \begin{align} M_t^u := u(X_t) - u(x) - \int_0^t \mathbf A u(X_r) \mathrm d r \quad ( u \in \mathcal D(\mathbf A), {t\geq 0} ) \end{align} es un $\mathcal F_t$ -martingale. Como las martingalas tienen una expectativa constante, se deduce que \begin{align*} \mathbb E^x u(X_t) - u(x) &= \mathbb E^x \int_0^t \mathbf A u(X_r) \mathrm d r\\ &= \int_0^t \mathbb E^x(\mathbf A u)(X_r) \mathrm d r\\ \Longleftrightarrow P_t u(x) - u(x) &= \int_0^t P_r \mathbf A u(x) \mathrm d r, \end{align*} a partir de la cual obtenemos fácilmente la fórmula de Dynkin mediante el teorema de parada opcional de Doob: Sea $\sigma$ ser un $\mathcal F_t$ detener el tiempo con $\mathbb E^x \sigma < \infty$ entonces \begin{align} \mathbb E^x u(X_\sigma) - u(x) = \mathbb E^x \int_0^\sigma \mathbf A u(X_r) \mathrm d r \quad (u \in \mathcal D(\mathbf A)). \end{align}

Esta conexión nos permite resolver ecuaciones diferenciales parciales clásicas, como el problema de Dirichlet, con métodos de martingala de una forma probabilística elegante.

Por último, volvamos al movimiento browniano. Para simplificar $d=1$ . Entonces $\mathbb E^x(B_t - x) = 0$ y $\mathbb E^x(B_t -x)^2 = t$ y por la fórmula de Taylor \begin{align*} \mathbb E^x u(B_t) \approx \mathbb E^x\left( u(x) + u'(x)(B_t-x) + \frac 12 u''(x)(B_t-x)^2 \right) = u(x) + 0 + \frac 12 t u''(x). \end{align*} Así que podemos suponer que se mantiene $(\mathbf A, \mathcal D(\mathbf A)) = \left( \frac 12 \Delta, \mathcal C_\infty\right)$ , donde $\mathcal C_\infty :=: \mathcal C_\infty(\mathbb R^d)$ denota la familia de todas las funciones continuas $f : \mathbb R^d \to \mathbb R$ desapareciendo en el infinito. Para $d=1$ que es verdad. Para el movimiento browniano en dimensiones superiores, todavía se puede demostrar que $\mathbf A u = \frac 12 \Delta u$ donde $u \in \mathcal D\left(\frac 12 \Delta \right)$ . Sin embargo, sólo obtenemos $C_\infty \subsetneq \mathcal D\left( \frac 12 \Delta \right)$ .

En cambio, vemos que \begin{align*} M_t^u := u(X_t) - u(x) - \int_0^t u''(B_r) \mathrm d r \quad ( u \in \mathcal D(\mathbf A), {t\geq 0} ) \end{align*} es una martingala.

Así, vemos que $u(t,x) := \mathbb E^x f(B_t)$ es la única solución de la ecuación de calor \begin{align*} \partial_t u(t,x) = \frac{1}{2}\partial_x^2 u(t,x), \quad u(0,x)=f(x). \end{align*}

Dejemos que $D$ sea un dominio abierto, acotado y conexo, $\tau_{D^c} := \inf\{ t>0 : B_t \not\in D\}$ la primera hora de salida del conjunto $D$ y $f : \partial D \to \mathbb R$ continua. Si $\partial D$ basta alguna condición de regularidad, entonces el problema de Dirichlet \begin{align*} \Delta u(x) &= 0 &\forall x \in D\\ u(x) &= f(x) &\forall x \in \partial D\\ u(x) &\text{ continuous} &\forall x \in \overline D \end{align*} tiene la solución única $u(t,x) := \mathbb E^x f\big(B_{\tau_{D^c}}\big)$ .

El laplaciano como generador también desempeña un papel fundamental a la hora de definir el movimiento browniano en las variedades.

Answer 5

Claro. Una forma es interpretar el laplaciano de una función en un punto, $\Delta f(p)$ como medida de la "curvatura media" de la imagen en $f(p)$ .

Obsérvese que, en dimensiones superiores, esto no es realmente muy intuitivo, debido a la parte "media" de la "flexión media": una función puede tener todas las segundas derivadas negativas excepto una, que es muy grande y positiva, y sin embargo tener un Laplaciano positivo en ese punto. En tales situaciones sería mejor considerar el hessiano completo de la función, o los valores propios de la misma, a su vez.