Funciones especiales y diff eq ' s...

Question

Están son todos estos métodos de tratar con los lineales de segundo orden diff eq:

la generación de la función; la recurrencia de la relación; Rodrigues diferencial de la forma; Schlafi forma integral; forma asociada; segunda forma; cambió la forma; forma de serie;

usted puede usar en las ecuaciones diferenciales en derivadas con nombres especiales:

Aireado; Bessel; Chebyshev; Hipergeométrica de Gauss; Hermite; Jacobi; Laguerre; Legendre

Hay por lo menos 100 ideas en estas dos listas, y al parecer uno puede comenzar desde la nada en la primera lista y se derivan de ninguna otra cantidad en la lista directamente de ella, mediante el uso de ecuaciones en la segunda lista de ejemplos cómo en el mundo hace uno para hacer sentido de todo esto? Dónde se debe empezar? Lo que me estoy perdiendo? Ni siquiera puedo empezar con todo esto hay mucho que hacer :(

No hay alguna manera estándar de comenzar con algo y derivar todo de una manera obvia, y una manera de recordar a todas las ecuaciones - o una buena reasong por qué no deberías preocuparte de recordar sus nombres? :(

Answer 1

Yo recomiendo empezar por aprender a resolver conjuntos de $n$ ecuaciones diferenciales ordinarias lineales (y el "tiempo discreto" analógica: ecuaciones de diferencia) con constante de los coeficientes de la forma

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+f(t),$$

donde $x:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$, $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ y $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$. Luego, me iba a mover en el caso de la variable en el tiempo de los coeficientes de

$$\dot{x}(t)=A(t)x(t)+f(t),$$

donde $A:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{n\times n}$. El primero es cubierto en las clases $10-15$ de aquí mientras un buen recurso para el último capítulo se 1-3 de este libro (sin embargo, no es libre -- tal vez alguien puede sugerir que es?).

Pero cuidado, no hay bala de plata, las soluciones a los casos generales sólo le llevará hasta ahora-que dependen de las integrales que involucran $f(t)$ $A(t)$ y el cómo (o si se puede en absoluto) evaluar analíticamente estos dependen en gran medida de $f(t)$ $A(t)$ específicamente.

Dicho esto, uno puede siempre evitar las dificultades de tratar de resolver analíticamente mediante la obtención de lugar aproximaciones a las soluciones (hoy en día, muy a menudo, de una forma arbitraria de precisión) por integrar numéricamente las ecuaciones diferenciales ordinarias en un equipo. Pero estoy empezando a irse por la tangente...

Por cierto, bienvenido a MSE.

EDIT: debo mencionar que siempre se puede volver a escribir un lineal $n^{th}$ orden de la ecuación diferencial como un conjunto de $n$ primer orden ecuaciones diferenciales como el anterior (pero no viceversa). Sin embargo, en mi experiencia, no es mucho más fácil para resolver el conjunto más general de la $n$ ecuaciones diferenciales de una $n^{th}$ ecuación diferencial y, creo que obtendrá más información haciendo el caso general.

También, no cambia mucho de la consideración de segundo orden a $n^{th}$ fin de Odas cuando se llega a la solución de ellos, por lo que, de manera similar, te recomiendo que pruebes directamente el caso general $n^{th}$ caso de la orden (de hecho, creo que va a ser más comprensible). Sin embargo, estos son sólo mis opiniones, estoy seguro de que otras personas piensan de manera diferente.