Núcleo de composición de transformaciones lineales

Question

Dejemos que $f : U \to V$ y $g : V \to W$ sean transformaciones lineales sobre los espacios vectoriales $U$ , $V$ y $W$ . Supuestamente,

$$\dim(\ker(g \circ f)) = \dim(\ker(f)) + \dim(\ker(g) \cap \operatorname{im}(f)).$$

¿Cómo podría demostrarlo?

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(Intento:) El $\dim(\ker(g)\cap\operatorname{im}(f))$ me sugiere que debería definir un espacio vectorial $V' = \ker(g) + \operatorname{im}(f)$ para invocar el teorema de que

$$\dim(V') = \dim(\ker(g)) + \dim(\operatorname{im}(f)) - \dim(\ker(g) \cap \operatorname{im}(f)),$$

pero no veo realmente a dónde ir desde allí.

Answer 1

Este es un posible enfoque. Si un vector está en $\ker f$ entonces sí que estará en $\ker(g\circ f)$ sino un vector $v$ también podría "sobrevivir" $f$ (es decir $f(v)\neq0$ Así que $v\notin\ker(f)$ ), pero tienen $f(v)\in\ker g$ para que todavía $g(f(v))=0$ . El término $\dim(\operatorname{im}(f)\cap\ker g)$ mide en cierto modo cuánto añade esta segunda posibilidad a la dimensión de $\ker(g\circ f)$ porque en ese caso $f(v)\in\operatorname{im}(f)\cap\ker g$ .

Para precisar la idea, se puede observar que para determinar $g\circ f$ se puede sustituir $g$ por su restricción a $\operatorname{im}(f)$ (ya que cualquier vector al que $g$ se aplica en la configuración de $g\circ f$ se encuentra en $\operatorname{im}(f)$ ) $$g\circ f = g|_{\operatorname{im}(f)}\circ f$$ de lo que se deduce que $$\operatorname{im}(g\circ f) = \operatorname{im}(g|_{\operatorname{im}(f)}).$$ Ahora se puede aplicar el teorema de rango-nulidad sucesivamente a $g\circ f$ , a $g|_{\operatorname{im}(f)}$ y a $f$ para obtener la identidad de dimensiones requerida: $$\begin{aligned} \dim\ker(g\circ f)&=\dim U-\operatorname{rk}(g|_{\operatorname{im}(f)})\\ &=\dim U-(\dim\operatorname{im}(f)-\dim\ker(g|_{\operatorname{im}(f)}))\\ &=\dim\ker(f)+\dim(\ker(g)\cap\operatorname{im}(f)) \end{aligned}$$

Otro enfoque es observar que el espacio $\ker(g)\cap\operatorname{im}(f)$ es precisamente la imagen de $\ker(g\circ f)$ por $f$ (de nuevo se aplican las observaciones del primer párrafo; puedes mostrar ambas inclusiones fácilmente). A continuación, aplique la teorema de nulidad de rango a la restricción de $f$ a $\ker(g\circ f)$ .

Answer 2

HINT : Utilice dos expresiones diferentes para $\text{dim}(U)$ en términos de los mapas, así como una expresión para $\text{dim}(\text{Im}(f))$ en términos de mapa $g$ .

PISTA 2 : Puede ver $g$ como actuar en $\text{Im}(f)$ solo. ¿Qué le dice eso sobre $\text{dim}(\text{Im}(f))$ ?