Notación Leibniz para derivados de alto orden

Question

¿Cuál es la razón para el posicionamiento del superíndice$n$ en un$n$ - derivado de orden$\frac{d^ny}{dx^n}$? ¿Es sólo una convención o tiene algún significado matemático?

Answer 1

Varias personas ya han publicado las respuestas diciendo que es $\left(\dfrac{d}{dx}\right)^n y$, así que en lugar de decir más sobre eso voy a hablar de otro aspecto.

Decir $y$ está en metros y $x$ es en segundos; a continuación, en qué unidades se $\dfrac{dy}{dx}$ medido? La unidad es $\text{meter}/\text{second}$. El infinitamente pequeñas cantidades $dy$ $dx$ respectivamente en metros y segundos, y usted está dividiendo uno por el otro.

Así, en qué unidades se $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ medido? La cosa, en la parte inferior es en $\text{second}^n$ (de segundos a la $n$th poder); la cosa, en la parte superior se encuentra todavía en metros, metros a la $n$th poder. El "$d$" es en efecto radio sin unidades, o adimensional si te gusta esa palabra.

Yo no creo que sea mera casualidad que ha resultado en el largo plazo la supervivencia de una notación que es "dimensionalmente correcta". Pero de alguna manera parece pasado de moda hablar de esto.

Answer 2

Podemos desempacar lo que se quiere decir, matemáticamente, por$\dfrac {d^ny}{dx^n}$:

ps

Answer 3

La derivada$n$ th es la composición$n$ - fold del primer operador derivativo:

$$ \frac{d^n y}{d x^n} = \left(\frac{d}{dx}\right)^n(y). $ $ Por lo tanto, una justificación simple es tratar el$d/dx$ como una fracción y distribuir el exponente a la parte superior e inferior. Esto es "válido" en cierto sentido - si usted mira las aproximaciones finitas a la segunda derivada por ejemplo, usted tiene

ps

donde$$ \frac{d^2 y}{dx^2} \approx \frac{1}{\delta x}\delta\left(\frac{\delta y}{\delta x}\right) = \frac{\delta(\delta y)}{(\delta x)^2}$ es el cambio en$\delta f = f(x+\delta x) - f(x)$ cuando cambia$f(x)$ por$x$.

Answer 4

{dx} {dx} {dx} {dx} {dx} {dx} {dx} {dx} curso, formalmente.