Voy a concatenar $x$ y $y$ y trabajar con una única ecuación de transición de estado
$$x_{k+1} = f (x_k)$$
donde $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ . Dado un estado $x$ , función $f$ le da el siguiente estado $f (x)$ . Es un infinito ¡máquina de estado! Supongamos que $f (\bar{x}) = \bar{x}$ para algún punto aislado $\bar{x} \in \mathbb{R}^n$ . Decimos que $\bar{x}$ es un punto fijo porque si $x_0 = \bar{x}$ entonces $x_1 = f (x_0) = f (\bar{x}) = \bar{x}$ y $x_2 = f (x_1) = f(\bar{x}) = \bar{x}$ y así sucesivamente. En otras palabras, si el sistema comienza en $x_0 = \bar{x}$ Se queda ahí para todos $k \geq 0$ . De ahí la palabra "fijo" en "punto fijo".
La expansión en serie de Taylor de $f$ alrededor de $\bar{x}$ es
$$f (x) = f (\bar{x}) + (D f) (\bar{x}) (x - \bar{x}) + \text{H.O.T}$$
donde $(D f)$ es la función de valor de la matriz jacobiana, y "T.O.H." significa "términos de orden superior". En una vecindad suficientemente pequeña de $\bar{x}$ podemos despreciar los términos de orden superior, y así
$$x_{k+1} = f (x_k) \approx f (\bar{x}) + (D f) (\bar{x}) (x_k - \bar{x})$$
y, como $f (\bar{x}) = \bar{x}$ obtenemos $x_{k+1} - \bar{x} \approx (D f) (\bar{x}) (x_k - \bar{x})$ . Sea $e_k := x_{k} - \bar{x}$ sea el vector de error que mide la desviación de $\bar{x}$ y que $A := (D f) (\bar{x})$ . Finalmente obtenemos la dinámica del error $e_{k+1} \approx A \, e_k$ , lo que da como resultado $e_k \approx A^k \, e_0$ . En otras palabras, en una vecindad suficientemente pequeña de $\bar{x}$ la magnitud de los valores propios de la matriz $A$ nos dirá si el vector de error convergerá al origen o divergirá, o lo que es lo mismo, si $x_k$ convergerá al punto fijo $\bar{x}$ o divergir. Si es el primer caso, decimos que el punto fijo $\bar{x}$ es localmente estable mientras que en este último caso decimos que el punto fijo $\bar{x}$ es inestable.
