Deje $R$ ser un anillo conmutativo. Que $R$-módulos de $M$ tienen la propiedad de que la simetría mapa
$$M \otimes_R M \to M \otimes_R M, ~m \otimes n \mapsto n \otimes m$$
es igual a la identidad? En otras palabras, cuando se $m \otimes n = n \otimes m$ todos los $m,n \in M$?
Algunas observaciones básicas:
1) Cuando $M$ es localmente libre de rango $d$, entonces esto es iff $d \leq 1$.
2) Cuando $A$ es un conmutativa $R$-álgebra, considerado como un $R$-módulo, entonces se satisface esta condición iff $R \to A$ es un epimorphism en la categoría de anillos conmutativos (véase el Seminaire Samuel para la teoría de estos epis).
3) de Estos módulos está cerrada bajo la formación de cocientes, localizaciones (en el mismo ring) y cambio de base: Si $M$ $R$ cumple la condición, entonces el mismo es cierto para $M \otimes_R S$ $S$ por cada $R$-álgebra $S$.
4) Una $R$-módulo de $M$ satisface esta condición iff cada localización $M_{\mathfrak{p}}$ satisface esta condición como un $R_{\mathfrak{p}}$-módulo, donde $\mathfrak{p} \subseteq R$ es primo. Esto reduce el estudio local de los anillos.
5) Si $R$ es un anillo local con ideal maximal $\mathfrak{m}$ $M$ cumple la condición, entonces $M/\mathfrak{m}M$ cumple la condición de más de $R/\mathfrak{m}$ (3). Ahora observación 1 implica que $M/\mathfrak{m}M$ tiene dimensión $\leq 1$$R/\mathfrak{m}$, es decir, que es cíclica como un $R$-módulo. Si $M$ fue finitely generado, esto significaría (por Nakayama) que $M$ también es cíclico. Por lo tanto, si $R$ es un anillo arbitrario, entonces un finitely generadas $R$-módulo de $M$ satisface esta condición iff cada localización de $M$ es cíclico. Sin embargo, hay interesantes no finitely generado ejemplos (véase 2).
No espero una clasificación completa (esto ya es indicada por 2)), pero me pregunto si hay alguna agradable caracterización o tal vez incluso la literatura existente. Se trata de una propiedad especial. También tenga en cuenta la siguiente reformulación: Cada bilineal mapa de $M \times M \to N$ es simétrica.
