Convergencia de Cesàro significa

Question

Sea$\lbrace x_n\rbrace\in l_2$ una secuencia débilmente converge a$x$.

Quiero demostrar que hay una subsecuencia$\lbrace x_{n_k}\rbrace $ tal que el Cesàro significa$\frac{1}{k}(x_{n_1}+x_{n_2}+\ldots x_{n_k})$ converge a$x$ en$l_2$.

¿No es verdad que$x_n$ converge débilmente a$x$ implica que hay una subsecuencia$x_{n_k}$ que converge a$x$?

Entonces, creo que si la secuencia converge a$x$ en$l_2$ entonces la media Cesàro de la secuencia también converge a$x$ in$l_2$.

¿No es así?

Answer 1

Primero de todo, los siguientes son equivalentes

1. $x_{n} \to x$ en la norma, que es $\|x_n - x\| \to 0$.
2. $x_{n} \to x$ débilmente y $\|x_n\| \to \|x\|$.

Que 2. implica 1. es un buen ejercicio en la aplicación de la polarización de la identidad.

Un ejemplo estándar débilmente convergente secuencia que no contienen una norma convergentes, la secuencia es un ortonormales sistema, como puede verse en la desigualdad de Bessel, por ejemplo.

Sin embargo, el resultado que usted está preguntando acerca de que es verdad. Un poco más general, tenemos:

Teorema (De Banach-Saks) Cada delimitada secuencia tiene una larga tal que su Cesàro medios convergen.

La prueba no es difícil: Dejar $\|x_n\| \leq C/2$ todos los $n$. Puesto que la bola cerrada de radio $C/2$ en el lapso de la $(x_n)$ es compacto metrizable en la topología débil, podemos suponer que la secuencia converge débilmente en el primer lugar. Por la traducción de la secuencia, podemos incluso suponer que converge débilmente a cero, y la secuencia sin duda será delimitada por $C$.

Ahora seleccione la sub-secuencia $y_k = x_{n_k}$ inductiva, mediante la debilidad de la convergencia a cero:

• Elija $y_1 = x_1$.
• Suponga que $y_1, \ldots, y_k$ ya están elegidos. Desde $|\langle y_i, x_n\rangle| \to 0$ $n \to \infty$ podemos optar $y_{n+1}$ tal que $|\langle y_{n+1}, y_i\rangle| \leq 1/(n+1)$ todos los $i = 1,\ldots,n$.

Estimación $$\left\Vert \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} y_{k} \right\Vert^{2}$$ y demostrar que converge a cero. Si pierdes a ti mismo en las estimaciones aquí, no te preocupes, reforzar por Nate la sugerencia que hace el argumento un poco más fácil.

Finalmente, el resultado que usted está preguntando acerca de la siguiente manera a partir de la Banach-Saks teorema aplicando el uniforme acotamiento principio para ver que débilmente convergente secuencia está acotada.

Answer 2

Como Chris Águila ha señalado, el argumento que usted sugiere no funciona, ya que en general no hay una larga converge en norma.

He aquí una sugerencia. Supongamos por simplicidad que nuestra débil límite es $x=0$. Entonces el cuadrado de la norma de la $m$th Cesaro decir es $$\bigg\lVert \frac{1}{m} \sum_{k=1}^m x_{n_k} \bigg\rVert^2 = \frac{1}{m^2} \sum_{k=1}^m ||x_{n_k}||^2 + \frac{2}{m^2} \sum_{1 \le j < k \le m} \langle x_{n_j}, x_{n_k} \rangle.$$

Desde débilmente convergente sucesión es acotada en norma (¿sabes por qué?), el primer término tiende a 0. Para el segundo término, a ver si usted puede elegir su larga para hacer de este pequeño. Por ejemplo, tal vez usted podría elegir a fin de garantizar que para cada una de las $k$, $$\max_{1 \le j < k} |\langle x_{n_j}, x_{n_k} \rangle| \le 2^{-k}.$$