¿Existen coeficientes reales$n^2$ de tal manera que todas las matrices en$\Bbb R^{n∗n}$ que contengan esos coeficientes sean invertibles?

Question

¿Existen coeficientes reales$n^2$ tales que todas las matrices en$\Bbb R^{n∗n}$ que contengan esos coeficientes (para cualquier permutación) sean invertibles? ¿Podemos tomar estos coeficientes en$[1,2]$?

Answer 1

Estás intentando encontrar$a = (a_{11}, \dots, a_{nn})\in \mathbb{R}^{n^2}$ de manera que la función \begin{align*} f(a) &= \det \begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end {pmatrix} \ end {align *} tenga$f(ga)\not = 0$ para cada permutación$g\in S_{n^2}$. Cada$f(ga)$ es un polinomio en el$a_{ij}$ y por lo tanto no es cero casi en todas partes. Así casi todo$a$ satisface su condición, y en particular usted puede elegir un punto en$[1, 2]^{n^2}$.