Un% integral difícil$I=\int_0^1\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\frac{dx}{1+x^2}$

Question

Cómo probar$$I=\int_0^1\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\frac{dx}{1+x^2}=\sqrt{\sqrt{2}+1}\arctan\sqrt{\sqrt{2}+1}-\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}-1}\ln(1+\sqrt{2}+\sqrt{2+2\sqrt{2}})$ $

ps

poner$$ I=\int_0^{\pi/4}\sqrt{1+\sqrt{1-\tan^2y}}dy=\int_0^{\pi/4}\sqrt{{cosy}+\sqrt{\cos2y}}\frac{dy}{\sqrt{cosy}} $ $ ¿Pero cómo calcular esta integral?

Answer 1

$\displaystyle I=\int_0^1\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\frac{dx}{1+x^2}\,dx$

Realizar el cambio de la variable$y=\sqrt{1-x^2}$,

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Apéndice:

si se quiere transformar la integral en una integral cuyo integrando es una fracción racional,

realizar el cambio de variable$y=\sqrt{1-x}$ en$(1)$

$\begin{align}I=\int_0^1 \dfrac{2(x^2-1)}{x^4-2x^2-1}\,dx\end{align}$

Answer 2

Aplicando la sustitución de $x=\sin\theta$ nos quedamos con

$$ I = \int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1+\cos\theta}\frac{\cos\theta}{1+\sin^2\theta}\,d\theta = \sqrt{2}\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos\theta\cos\frac{\theta}{2}}{1+\sin^2\theta}\,d\theta$$ y aplicando la sustitución de $\theta=2\varphi$ obtenemos: $$ I = 2 \sqrt{2}\int_{0}^{\pi/4}\frac{\cos(\varphi)(2\cos^2(\varphi)-1)}{1+4\sin^2(\varphi)\cos^2(\varphi)}\,d\varphi. $$ Mediante el establecimiento $\varphi=2\arctan t$, el original de la integral se convierte en la integral de una función racional en el intervalo de $J=\left(0,\tan\frac{\pi}{8}\right)=\left(0,\sqrt{2}-1\right)$, es decir,

$$ I = 4\sqrt{2}\int_J \frac{1-7 t^2+7 t^4-t^6}{1+20 t^2-26 t^4+20 t^6+t^8}\,dt. $$ Ahora la forma cerrada de $I$ sólo depende de la fracción parcial de la descomposición de la última integrando la función, es decir, en las raíces de $p(t)=1+20 t^2-26 t^4+20 t^6+t^8$. $p(t)$ es una capicúa polinomio, por lo que sus raíces están dadas por triple-anidada raíces cuadradas, pero la búsqueda de ellos es bastante fácil, ya que todo el problema se reduce a resolver una ecuación cuadrática. Voy a dejar de llenar los detalles que faltan.

Answer 3

Intenta$x = \sin u$, de modo que$dx = \cos(u)\, du$.

A continuación, utilice el hecho de que:$$\sqrt{1+\sqrt{1-\sin^2 u}} = \sqrt{1+\cos u} =\sqrt{2} |\cos\tfrac{u}{2}|$ $

La integral se convierte en:

$$ \begin{align} I &= \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2} \cos\tfrac{u}{2} \, \cos u}{1+\sin^2 u} du \\ \end {align} $$