Problemas para demostrar $\int_0^\infty x^3\frac{\sin\frac{\pi x}{2}\sinh\frac{\pi x}{2}}{\cos\pi x+\cosh\pi x}(J_0(x)+I_0(x))dx=0$

Question

Quiero demostrar que $$ \int_0^\infty x^3\frac{\sin\frac{\pi x}{2}\sinh\frac{\pi x}{2}}{\cos\pi x+\cosh\pi x}(J_0(x)+I_0(x))dx=0,\tag{1} $$ donde $J_0(x)$ y $I_0(x)$ son la función de Bessel y la función de Bessel modificada del primer tipo.

¿Qué sé yo? Este $$ \int_0^\infty x^{4n-1}\frac{\sin\frac{\pi x}{2}\sinh\frac{\pi x}{2}}{\cos\pi x+\cosh\pi x}dx=0,\,\,\,\,\, n\in\mathbb{N},\tag{2} $$ y esto $$ J_0(x)+I_0(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{4n}.\tag{3} $$ Sin embargo el problema es que no sé cómo combinar $(2)$ y $(3)$ rigurosamente para conseguir $(1)$ . Por ejemplo, esto no es cierto: $$ \int_0^\infty x^3\cos x^2\frac{\sin\frac{\pi x}{2}\sinh\frac{\pi x}{2}}{\cos\pi x+\cosh\pi x}dx=0.\,\,\,\,\,(\text{wrong})\tag{4} $$

P: Explique rigurosamente por qué $(1)$ es verdadera y $(4)$ se equivoca.

Nota. Creo que las formas cerradas de $(1)$ y $(4)$ se puede derivar por el teorema del residuo. Sin embargo, para responder a esta pregunta quiero evitar los cálculos explícitos y entender cómo se llega de $(2)$ y $(3)$ a $(1)$ y también para entender por qué el mismo razonamiento falla en caso de $(4)$ .

Answer 1

La respuesta corta es que el Teorema de Convergencia Dominada puede aplicarse a uno, pero no al otro. Sabemos que $$ f(x) = \sin{(\pi x/2)}g(x) = \frac{\sin{(\pi x/2)}\sinh{(\pi x/2)}}{\cos{\pi x}+\cosh{\pi x}} \sim \sin{(\pi x/2)} e^{-\pi x/2} $$ como $x \to \infty$ . Por lo tanto, aunque sustituyamos el seno por $1$ la mayoría de las integrales que nos interesan seguirán convergiendo; en particular $ \int_0^{\infty} x^{4k+3} g(x) \, dx $ y $\int_0^{\infty} x^3( J_0+I_0) g(x)$ existe. A partir de ahora tomamos la medida de ser $g(x) \, dx$ para ahorrar en la escritura.

Además, para (1), ya que en (3) el $a_n$ son todos positivos (fáciles de verificar), $$0 \leq \sum_{k=0}^n a_k x^{4k+3} \leq x^3(J_0(x)+I_0(x)). $$

Poniendo todo esto junto, $\sin{(\pi x/2)}\sum_{k=0}^n a_k x^{4k+3}$ son una secuencia de funciones integrables que convergen puntualmente (por el teorema de Taylor) a $x^3(J_0(x)+I_0(x))\sin{(\pi x/2)}$ y están dominados por la función integrable $x^3(J_0(x)+I_0(x))$ por lo que se aplica el Teorema de la Convergencia Dominada y se pueden intercambiar el límite y la suma.

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Esto no funciona para $x^3\cos{(x^2)}$ . Hay dos problemas: en primer lugar, los coeficientes de la serie de Taylor no son negativos, por lo que la función límite no sirve para la dominación. En segundo lugar, la conjetura obvia para una función dominante es $\cosh{(x^2)}$ , que obviamente no funciona ya que no es integrable. Seguramente se puede demostrar que no existe una función dominante (probablemente utilizando que la suma de los valores absolutos se parece a $\cosh{(x^2)}$ en alguna parte), pero como tienes evidencia numérica de que el límite y la integral no conmutan, no puede haber uno.