Mayor desigualdad de Cauchy - Schwarz desigualdad

Question

Me acabo de enterar hoy de que no puede haber un mejor resultado que la AM-GM de la desigualdad. En particular:

Deje $a, b > 0$ \begin{equation} \label{1}\tag{1} \dfrac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \geq \dfrac{1}{16 \max \left\lbrace a , b \right\rbrace} \left( a - b \right) ^{2} . \end{equation}

Cuando la RHS de \eqref{1} se $0$ entonces tenemos la clásica AM-GM de la desigualdad. Este resultado es, obviamente, mejor, ya que este RHS podría ser mayor que el $0$ en general.

Me pregunto si podemos conseguir algunos resultados similares de Cauchy - Schwarz desigualdad. Por ejemplo, sólo un caso particular, hay algunos $\mathcal{E} \geq 0$ tal que \begin{equation} \left( a + b \right) ^{2} \leq 2 \left( a^{2} + b^{2} \right) - \mathcal{E} . \end{equation}

Answer 1

Creo que te refieres a $\mathcal{E}\geq0$, $a=b$de otra manera % dará un contraejemplo.

Por ejemplo: $$2(a^2+b^2)-\frac{(a-b)^4}{a^2+b^2}\geq(a+b)^2.$ $

Para tres variables tenemos los siguientes más fuertes que la desigualdad de C-S.

Que $a$, $b$ $c$ ser números positivos. Demostrar que: $$3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2\geq\frac{25(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2}{a^4+b^4+c^4}.$ $

Si lo cambiamos a $25$ $26$ conseguiremos una desigualdad mal.