Grupo de números racionales

Question

Conjunto de $\mathbb{Q1}$ de todos los números racionales distinto de 1 forma un grupo bajo la operación $a*b=a+b-ab$

Si tenemos en cuenta otro conjunto de $\mathbb{Q}$ de todos los números racionales. ¿El conjunto de números racionales $\mathbb{Q}$ forman un grupo bajo la misma operación? Parece que este sistema cumple con las propiedades del grupo bajo la operación anterior.

Answer 1

¿Cuál es el inverso del $1$ bajo la operación de este grupo? No hay una: $1 * b = 1+b-b=1 $ para cualquier $b$.

Answer 2

Pozo. Ya lo pensé. Para cualquier elemento de dos una y su inversa b en Q1 llegaremos $a*b=0$ 0 es el elemento de identidad. Esto le dará $a+b-ab=0$ y $b=a/(a-1)$. Así que si el sistema consiste en 1 entonces inverso no existirá.

Answer 3

Esta operación es simplemente multiplicar el $\mathbb{Q}$ bajo el % de transformación $\phi:x\mapsto 1-x$. En efecto: $\phi(a)\phi(b)=(1-a)(1-b)=1-(a+b-ab)=\phi(a*b)$. Desde $1=\phi(0)$, preguntando si podemos incluir $1$ en este grupo es precisamente lo mismo que pedir si podemos incluir $0$ en el grupo multiplicativo de los racionales. Claramente, no podemos.