En $a^4 + b^4 = c^4 + d^4 = e^5$.

Question

Deje $a, b, c, d, e$ ser distintos números enteros positivos tales que a $a^4 + b^4 = c^4 + d^4 = e^5$. Mostrar que $ac + bd$ es un número compuesto.

Answer 1

Suponga que $p=ac+bd$ es primo. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la $a>c,d$ a partir de la cual se desprende que $b<c,d$. También, $a,b,c,d<p$, y así deben ser relativamente primos con $p$.

Informática modulo $p$,$ac \equiv -bd$, lo que conduce a $(ac)^4\equiv(bd)^4$. La explotación de $a^4+b^4=c^4+d^4$ tenemos $$(a^4+b^4)^4=(ac)^4+(ac)^4\equiv(db)^4+(ac)^4=(c^4+d^4)b^4=(a^4+b^4)b^4$$ lo que significa que cualquiera de las $p$ divide $a^4+b^4=c^4+d^4$ o $b^4\equiv c^4$.

Podemos excluir la alternativa $p|a^4+b^4$ desde que harían $p|e$, que a su vez requeriría $e\ge p=ac+bd>a+b$, lo que conduce a $e^5>a^4+b^4$. Tenga en cuenta que este es el único uso para la igualdad de con $e^5$.

Así que ahora sabemos que $b^4\equiv c^4$, lo que significa que $$p|c^4-b^4=(c^2+b^2)(c+b)(c-b).$$ De nuevo, $p>c+b$, por lo que debemos tener $p|c^2+b^2$. Sin embargo, $c^2+b^2<ac+bd=p$ $c<a$ $b<d$ , lo que hace que $p|c^2+b^2$ imposible.

Por lo tanto, no $a,b,c,d$ existen para que $p$ es primo.

Esto fue escrito en la noche, así que espero no hacer ningún garrafales errores.

Answer 2

He utilizado Beal de la conjetura para mostrar que $ac+bd$ es compuesto.

Tenemos $a^4+b^4=e^5$, el Uso de Beal es una conjetura decimos que $a$ $b$ tienen en común el primer factor.

Deje que el común factor primordial ser $f$.

$a=a_1f$ $b=b_1f$ algunos $a_1,b_1\in \mathbb{Z^+}$

En $ac+bd=a_1fc+b_1fd=f(a_1c+b_1d)$

Por lo tanto, $ac+bd$ es compuesto.

Anteriormente, fue una prueba utilizando una conjetura. Traté de demostrar que sin el uso de cualquier conjetura, pero no pude probar.

Yo era capaz de demostrar que $ac+bd$ está compuesto de al $e$ es incluso.

$e$ es incluso, a continuación, $e^5$ va a ser, incluso, a continuación, $a^4+b^4$ va a ser, incluso, a continuación, $a+b$ serán aún.

Por lo tanto $a$ $b$ son pares o ambos son incluso.

De igual manera nos tendrán a $c$ $d$ impar o ambos inclusive.

Ahora, con cualquier combinación nos pondremos $ac+bd$ incluso.

Por lo tanto, $ac+bd$ es compuesto.

Al hacer el mismo análisis al tomar $e$ como raro

A continuación, vamos a conseguir que cualquiera de las $a$ o $b$ es uniforme y bien $c$ o $d$ es incluso.

Al $a$ $c$ son impares y $b$ $d$ son incluso entonces esto puede ser posible que $ac+bd$ es primo o esto puede ser compuesto.(aún no tengo ninguna prueba de ello) Esta es la razón por la que he utilizado la conjetura.