Probabilidad de una probabilidad de ocurrir

Question

Estoy tratando de solucionar este problema, pero me está costando.

Una universidad que tiene 300 alumnos inscritos. La muestra de 30 alumnos y ver que 20 niños y 10 niñas. Si la universidad contaba con 150 hombres y 150 mujeres, ¿cuál sería la probabilidad de su observación? Más generalmente, si hay N los estudiantes matriculados en la universidad, B, de los cuales son varones y el N − B de las niñas, ¿cuál es la probabilidad de que si la muestra n (≤ N), entonces exactamente b son los niños y n − b son niñas?

Así que a partir de la muestra sabemos que hay (aproximación) el 66% de los varones y el 33% de las niñas. Pero no sé cómo estimar la probabilidad de esta observación, ¿qué me estoy perdiendo?

Answer 1

Para resolver este problema, puede utilizar la distribución Hipergeométrica. Con las variables

• $N$ el tamaño de la población ($300$)
• $K$ número de éxito de los estados en la población ($150$)
• $n$ el número de sorteos ($30$)
• $k$ el número de éxitos observados (chicos, $20$)

Entonces si $X$ es el número de niños dibujados en la muestra, a continuación,

$$ P(X = k) = \frac{{K \elegir k} {N-K \elegir n-k}}{N \elegir n} $$

Recordemos que ${n\choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ es el coeficiente binomial.

Por su ejemplo de dibujo de $20$ a los niños en una muestra de $30$, tenemos

$$ P(X = 20) = \frac{{150 \elegir 20} {300-150 \elegir 30-20}}{300 \elegir 30} \approx 0.0245 $$

La solución con la distribución binomial proporcionada por @Atvin es una estimación de la probabilidad con un gran tamaño de la población ($N\to\infty$).

Answer 2

Si usted puede escoger el mismo chico (o chica) dos veces, entonces esta es la respuesta correcta:

Esto se puede resolver utilizando la distribución binomial:

La muestra $30$ a los estudiantes, y la probabilidad de elegir a un chico es $\frac12$. Por lo tanto, usted tiene $Binom(30,\frac12$):

$$\mathbb{P}(X=20)=\binom{30}{20} \frac12^{20} \frac12^{10}=\mathbb{P}(X=10)=\binom{30}{10} \frac12^{10} \frac12^{20}$$

Se puede ver que el resultado es el mismo, si se pregunta por la probabilidad de muestreo $10$ niñas (lado derecho de la ecuación), ya que si se conocen los números de uno de los sexos, sabrás automáticamente los números de la de otro género.

Si usted no puede recoger el mismo chico (o chica) dos veces, esta es la respuesta correcta (con crédito a lulu):

$$\frac{\binom{150}{20} \cdot \binom{150}{10}}{\binom{300}{30}}=\frac{\binom{150}{10} \cdot \binom{150}{20}}{\binom{300}{30}}$$

desde $\binom{300}{30}$ es el número de todas las posibles muestras, y de la $150$ varones, puede elegir exactamente $20$ (o, equivalentemente, de la $150$ de las niñas, puede elegir exactamente $10$).

Esto se llama la distribución hipergeométrica.

Voy a dejar el caso general para trabajar.