El punto de partida es la densidad de energía de los campos electromagnéticos:
$$ u = \frac{1}{2} \left( \epsilon_0 |\mathbf{E}|^2 + \frac{1}{\mu_0} |\mathbf{B}|^2 \right) \tag{1}$$
La "paradoja" es que si usamos esto para probar si es menor de energía para dipolos eléctricos para alinear (o anti-align) con cada uno de los otros del campo se da la respuesta correcta, pero para los dipolos magnéticos se da lo opuesto respuesta.
Corrí a través de esta "paradoja" hace varios años, y el cálculo de todo lo que es sucio y molesto, así que si usted va a perdonar que me voy a hacer mi mejor esfuerzo para poner esto de tal manera que ninguna de las integrales necesitan ser trabajadas de forma explícita. Obviamente no hay una verdadera paradoja, la pregunta es ¿qué está mal con el razonamiento o lo que la física está pasando por alto que conduce a una contradicción.
Si tenemos en cuenta dos dipolos, que debe tener la energía más baja cuando los dipolos están apuntando en direcciones opuestas, de modo que cada dipolo está alineado con el campo del otro:
El objetivo será comparar la energía en los campos de la alineados y anti-alineados caso de uniformemente polarizada (o magnetizado) las esferas, para ver cómo la energía depende de la orientación de los dipolos. En primer lugar vamos a empezar con dipolos eléctricos, pero el concepto es el mismo para la consideración de los dipolos magnéticos.
$$ U = \frac{\epsilon_0}{2} \int |\mathbf{E}_{\text{dipole1}} + \mathbf{E}_{\text{dipole2}}|^2 d^3r = \frac{\epsilon_0}{2} \int \left( |\mathbf{E}_1|^2 + 2 \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2 + |\mathbf{E}_2|^2 \right) d^3r \tag{2}$$
Sólo el $\mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2$ plazo dependerá de la orientación de los dipolos.
Ya que tenemos que integrar en todo el espacio, no podemos descuidar el campo en el interior de las esferas. Esta realidad resulta ser importante, y es donde los dipolos eléctricos y magnéticos diferentes. Las líneas de campo eléctrico de cambiar de dirección en la polarización de la esfera, mientras que las líneas de campo magnético no.
$$\mathbf{E}_\text{dipolo} = \begin{cases} \frac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3} ( 3(\mathbf{p}\cdot\mathbf{\hat{r}})\mathbf{\hat{r}} - \mathbf{p}) &, r > R \\ -\frac{1}{3\epsilon_0}\frac{\mathbf{p}}{\frac{4}{3}\pi R^3} = -\frac{1}{3\epsilon_0} \mathbf{P} &, r < R \end{casos} \etiqueta{3}$$
$$\mathbf{B}_\text{dipolo} = \begin{cases} \frac{\mu_0}{4\pi r^3} ( 3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{\hat{r}})\mathbf{\hat{r}} - \mathbf{m}) &, r > R \\ +\frac{2\mu_0}{3}\frac{\mathbf{m}}{\frac{4}{3}\pi R^3} = +\frac{2\mu_0}{3}\mathbf{M} &, r < R \end{casos} \etiqueta{4}$$
Así que cuando se evalúa el campo de la energía, $\mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2$ rompe en tres trozos. Uno es la región fuera de ambas esferas, y las otras dos son las regiones, ya sea en la esfera (que debido a la simetría debe dar el mismo valor). Cuando los dipolos se alinean unos con otros campos, podemos ver que todas las regiones contribuir de manera negativa. Y cuando los dipolos son anti-alineados unos con otros campos, todas las regiones contribuirá de forma positiva.
Así que, como era de esperar, la parte inferior de energía de la orientación es cuando cada dipolo está alineado con el campo de los otros.
Si esto no es claro, es más fácil de analizar en el límite de un perfecto dipolo (o aproximar el caso de que $R \ll d$ donde $R$ es el radio de la esfera y el $d$ es la distancia entre ellos). A continuación, el interior de una esfera, se convierte en $$\int \left(\frac{-1}{3}\mathbf{p}_1 \ \delta^3(\mathbf{r_1}) \right) \cdot \mathbf{E}_2(\mathbf{r}) d^3r \tag{5}$$ El exterior de las esferas caso puede ser analizado tomando nota de que podemos elegir el origen en un dipolo, y ampliar el campo de los otros en los momentos multipolares. Desde el otro dipolo es el offset, el momento dipolar no será el único no-cero, momento en esta expansión, pero ya que estamos, finalmente, la integración de $\mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2$ y la armónica esférica componentes son ortogonales, sólo el dipolo-dipolo plazo contribuirán. En el campo lejano, el momento dipolar en este desplazamiento de expansión más claramente aún en la misma dirección que el anterior momento, sólo un cambio en la magnitud.
Si nosotros realmente trabajado fuera de la integral, se debe encontrar la energía de la orientación es:
$$U = - \mathbf{p}_1 \cdot \mathbf{E}_2(\mathbf{r}_1) = - \mathbf{p}_2 \cdot \mathbf{E}_1(\mathbf{r}_2) \tag{6}$$
Ahora, incluso sin trabajar fuera de la integral para comprobar que, podemos ver que algo está mal. Si nos fijamos en el dipolo magnético, la interacción de los campos son equivalentes a los dipolos eléctricos de la situación cuando se encuentren fuera de las esferas, pero en la dirección opuesta en el interior de las esferas. Esto significa que el mismo cálculo para los dipolos magnéticos no pueden trabajar. Cuando los dipolos magnéticos están alineados uno con el otro campo, el de la región fuera de las esferas todavía va a contribuir de manera negativa (todo está bien), mientras que la región dentro de las esferas de ahora va a contribuir de manera positiva. Algo está mal.
De hecho, si uno hace el cálculo para el dipolos magnéticos, el resultado será aún tiene la correcta magnitud ... pero la señal equivocada! Esta es la paradoja.
El cálculo funciona bien para dipolos eléctricos, pero las afirmaciones de la energía es más baja cuando los dipolos magnéticos son paralelos el uno con el otro (anti-alineados unos con otros campos).
¿Qué está pasando?
