La integral se puede expresar en términos de la inversa de Weierstrass de la elíptica funciones
y, por tanto, en sentido contrario a la Jacobi funciones elípticas. La otra respuesta ha mencionado el
incompleta integral elíptica de primera especie. Que la integral es esencialmente uno de los inversos Jacobi elíptica funciones en el disfraz.
Voy a darle a la expresión en términos de la inversa de Weierstrass elíptica funciones sólo.
A diferencia de la expresión de Jacobi elíptica funciones de los/las integrales elípticas, esta parte es mucho más fácil de derivar.
Vamos $\alpha = \frac{R_s}{R_0} = \beta + \frac13$, $u = \frac{R_s}{r} = p + \frac13$, la integral se puede escribir como
$$\varphi(R) = \int_{\frac{R_s}{R}}^\alpha \frac{du}{\sqrt{\alpha^2(1-\alpha) - u^2(1-u)}}
= \int_{\frac{R_s}{R}-\frac13}^{\beta}\frac{dp}{\sqrt{p^3 - \frac{p}{3} - ( \beta^3 - \frac{\beta}{3} )}}
$$
Deje $\wp(z)$ ser el de Weierstrass elíptica función asociada con la educación a distancia
$$\wp'(z)^2 = 4\wp(z)^3 - g_2 \wp(z) - g_3\quad\text{ donde }\quad
\begin{cases}g_2 &= \frac43\\g_3 &= 4(\beta^3 - \frac{\beta}{3})\end{casos}$$
and substitute $p$ by $\wp(z)$, we have
$$\varphi(R) = 2 \int_{\frac{R_s}{R}-\frac13}^\beta \frac{d\wp (z)}{\sqrt{4\wp(z)^3 - g_2 \wp(z) - g_3}}$$
If one change variable to $z$, the factor $\frac{d\wp}{\sqrt{4\wp^3 - g_2\wp - g_3}}$ in above integrand reduces to either $+dz$ or $-dz$.
Let $\omega$ and $\omega'$ be the half periods of $\wp(z)$ with $\omega \en (0,\infty)$ and $\Im\omega' > 0$. Let $\omega_c = \omega + \omega'$. We will adopt the convention as $\rho$ decreases from $+\infty$ to $-\infty$ along the real axis, $\wp^{-1}(\rho)$ will move along the path
$$0 \to \omega \to \omega_c = \omega + \omega' \to \omega' \to 0$$
For the parameter range $R > R_0 > \frac{3\sqrt{3}}{2} R_s$ we are interested in, $\wp^{-1}(\beta) = \omega_c$ and in general $\wp^{-1}(p)$ will lie on the line segment joining $\omega'$ and $\omega + \omega'$. On this line segment, above factor reduces to $dz$
y llegamos
$$\varphi(R) = 2 \int_{\wp^{-1}\left(\frac{R_s}{R}-\frac13\right)}^{\wp^{-1}(\beta)} dz
= 2 \left[ \omega_c - \wp^{-1}\left(\frac{R_s}{R} - \frac13\right) \right]
$$
Computacionalmente, esto no es conveniente para el uso. Esto es debido a que para el rango de $r$ nos importa, $\wp^{-1}(p)= \wp^{-1}\left(\frac{R_s}{r} - \frac13\right)$ es un número complejo!
Utilizando la siguiente formula de sumar de a $\wp(z)$:
$$\wp(z+\omega_c) + \wp(z) + \wp(\omega_c) = \frac14 \left(\frac{\wp'(z) - \wp'(\omega_c)}{\wp(z) - \wp(\omega_c)}\right)^2$$
Nos encontramos
$$
\wp(\omega_c-z) = \wp(z+\omega_c)
= \frac{\left(p^3-\frac{p}{3}\right) - \left(\beta^3 - \frac{\beta}{3}\right)}{(
(p-\beta)^2} - (p + \beta)
= \beta + \frac{9\beta^2-1}{3(p-\beta)}
$$
y por lo tanto
$$\varphi(R)
= 2\wp^{-1}\left( \beta + \frac{9\beta^2-1}{3(p-\beta)} \right)
= 2\wp^{-1}\left(\alpha\frac13 + \frac{\alpha(3\alpha-2)}{\frac{R_s}{R} - \alpha}\right)
\etiqueta{*1}$$
Para demostrar cómo este trabajo, vamos a considerar el caso de $(R_s, R_0, R ) = (1,3,4)$ como un ejemplo. Tenemos $\alpha = \frac13$ $\varphi(R)$ se convierte en
$$\begin{align}
\varphi(R)
= & \int_3^4 \frac{dr}{r^2\sqrt{\frac{2}{27} - \frac{1}{r^2}\left(1 - \frac{1}{r}\right)}}\\
\approx & 1.00210163826249415497545279509980330387176483490377
\end{align}
$$
El valor numérico se evalúa utilizando el siguiente comando en WA (Wolfram Alpha).
$\quad(a)\quad\quad$ N[Integrate[1/(r^2*Sqrt[2/27-1/r^2*(1-1/r)]),{r,3,4}],50]
Para este ejemplo, $(g_2, g_3) = (4/3,0)$. RHS de $(*1)$ hace $\wp^{-1}(4)$ y
una vez más, podemos evaluar en WA usar otro comando
$\quad(b)\quad\quad$ N[-2*InverseWeierstrassP[ 4, {4/3,0}],50]
y obtener
$$2\wp^{-1}(4) \approx 1.0021016382624941549754898784512602241681634415061$$
To those with the sharp eyes, you will notice two things.
the numerical output of these two commands are very close but not the same. The only thing I can said is WA label the output for $(a)$ como aproximación decimal, mientras que el
salida para $(b)$ como resultado.
Hay un misterioso signo menos en el comando $(b)$. Resulta WA utiliza una convención diferente para $\wp^{-1}(p)$ de mí. Para grandes y posible $p$, InverseWeierstrass[p,{g_2,g_3}] devuelve un negativo en vez de un número positivo y de ahí la necesidad de que extra signo menos.
Actualización
Acerca de la expresión de todo en términos de la inversa de Jacobi funciones elípticas.
Finalmente me desenterrar mis libros de referencia y encontrar algo útil. Deje $e_1, e_2, e_3$
serían las 3 raíces de los polinomios de $4p^3 - g_2 p - g_3 = 0$. Para la concreción, nos deja elegir
$$e_1 = \wp(\omega),\quad e_2 = \wp(\omega_c)\quad\text{ and }\quad e_3 = \wp(\omega')$$
We have
$$\wp'(z)^2 = 4 \wp(z)^3 - g_2 \wp(z) - g_3 = 4(\wp(z) - e_1)(\wp(z) - e_2)(\wp(z) - e_3)$$
When $0 < \alfa < \frac23$, uno puede mostrar que estos 3 raíces son reales y distintas.
Además, satisfacen $e_1 > e_2 = \beta > e_3$.
Si uno define una función $\text{sn}(\cdot)$ por la siguiente relación
$$\wp(z) = e_3 + \frac{e_1-e_3}{\text{sn}(z\sqrt{e_1-e_3})^2}
\quad\ffi\quad
\text{sn}(z) = \sqrt{\frac{e_1 - e_3}{\wp\left(\frac{z}{\sqrt{e_1-e_3}}\right) - e_3}}$$
One can show that $\text{sn}(z)$ satisfy the ODE for the Legendre form of Jacobi elliptic sine function:
$$\text{sn}'(z)^2 = (1 - \text{sn}(z)^2)(1 - m\,\text{sn}(z)^2)\quad\text{ where }\quad m = \frac{e_2 - e_3}{e_1-e_3}$$
Uno puede utilizar esta relación para convertir la expresión a partir de la inversa de Weierstrass elíptica funciones a la inversa Jacobi funciones elípticas.
