¿por qué puede pasa a través de integral w.r.t. $\frac{d}{dy}$ $x$?

Question

Cuando calculo integración de multivariables, muchos libros utilizan el siguiente paso sin impermeabilización. Quiero saber que es verdadero: $$\frac{d}{dy}\left[\int^a_b f(x,y)dx\right]_{y=k}=\int^a_b \frac{\partial}{\partial y} \left[f(x,y)\right]_{y=k}dx$ $

También me pregunto que si es cierto cuando la integral o diferenciación se convierte en indefinido. Que es: $$\frac{d}{dy}\int f(x,y)dx=\int\frac{\partial}{\partial y} f(x,y)dx$ $ $$\frac{d}{dy}\int^a_b f(x,y)dx=\int^a_b \frac{\partial}{\partial y} f(x,y)dx$ $ $$\frac{d}{dy}\left[\int f(x,y)dx\right]_{y=k}=\int \frac{\partial}{\partial y} \left[f(x,y)\right]_{y=k}dx$ $

Answer 1

En términos simples, la integración es un caso límite de adición (sumas de Riemann). Por lo tanto, bajo supuestos razonables puede distinguir bajo el signo integral - al igual que el caso con las sumas.

En cuanto a tu otra pregunta, el general integral indefinido de $f(x,y)$ es $\int f(x,y)\mathrm{d} x=\int_{x_0}^xf(t,y) \mathrm{d}t+C$ donde $x_0,C$ son constantes. Aplicar aquí la regla da el resultado requerido (otra vez si se cumplen los requisitos del teorema).