Encontrar Zariski cierre de un conjunto

Question

Deje $X=\{(x,\sin(x)): x \in \mathbb{A}^{2}\}$. Quiero encontrar el cierre (con respecto a la topología de Zariski) de $X \subseteq \mathbb{A}^{2}$.

OK ya he demostrado que $X$ no es un conjunto cerrado. Ahora considere el $cl(X)$ esto es un subconjunto cerrado de $\mathbb{A}^{2}$, por lo que su dimensión es $0,1$ o $2$, no es $0$ porque no es un punto. Así que o $cl(X)$ tiene dimensión $1$ o $2$. Sospecho que la respuesta es $2$. Si la dimensión es $1$ $X=V(f)$ algunos $f \in k[x,y]$ $f$ irreductible. Esto implica entonces que el $f(a,\sin(a))=0$ por cada $a \in \mathbb{A}^{1}$.

Pregunta: ¿esto implica que $f$ es el polinomio cero?

De esto se seguiría que la dimensión es$2$$cl(X)=\mathbb{A}^{2}$.

Answer 1

El Zariski de cierre es el conjunto. Supongamos $f(x,\sin(x))=0$ todos los $x$. Definir $g_y(x)=f(x,y)$ $y\in [-1,1]$ y tenga en cuenta que $g_y$ tiene una infinidad de ceros, por lo tanto debe ser el cero del polinomio. Por lo tanto $f$ se desvanece en la franja de gaza $\mathbb R\times [-1,1]$, por lo que debe ser el cero del polinomio por cualquier número de propiedades (por ejemplo, el hecho de que los polinomios son analíticos).

Edit: Para aclarar, ya que los polinomios son analíticas, es suficiente para mostrar que $f$ $0$ sobre un conjunto abierto (en la métrica usual de la topología, NO la topología de Zariski) en orden a la conclusión de que la $f$ $0$ en todas partes. De lo contrario, tenemos algunos $n$ tal que la primera de las $n-1$ derivados se desvanecen en el set, pero el $n^{th}$ no, por lo que es distinto de cero y de constante signo en algún conjunto abierto, por lo que la integración nos da $f$ es distinto de cero en algún punto de este conjunto. Desde $\mathbb R\times [-1,1]$ contiene la unidad de abrir la bola alrededor de $(0,0)$, hemos terminado.