No encuentro la forma cerrada de la siguientes integrales %#% $ #%
$$\int_0^{\pi/2}\frac{x\cos{x}}{3\sin^2x+1}\mathrm dx$$
En el otro lado, encontrar
$$\int_0^{\pi/2}\frac{x\cos{x}}{\sin^2x+3}\mathrm dx$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La integración por partes, obtenemos
\begin{align*} \int_{0}^{\pi/2} \frac{x\cos x}{3\sin^{2}x + 1} \, dx &= \left[ \frac{x}{\sqrt{3}} \arctan(\sqrt{3}\sin x) \right]_{0}^{\pi/2} - \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{0}^{\pi/2} \arctan(\sqrt{3}\sin x) \, dx \\ &= \frac{\pi^{2}}{6\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{0}^{\pi/2} \arctan(\sqrt{3}\sin x) \, dx. \end{align*}
Ahora señalando la identidad
$$ \int_{0}^{\pi/2} \arctan(r\sin x) \, dx = 2\chi_{2}\left(\frac{\sqrt{1+r^{2}} - 1}{r} \right), $$
donde $\chi_{2}$ es la de Legendre chi función de orden 2, se sigue que
$$ \int_{0}^{\pi/2} \frac{x\cos x}{3\sin^{2}x + 1} \, dx = \frac{\pi^{2}}{6\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3}} \chi_{2}\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right). $$
Hay sólo un puñado de casos en donde el valor exacto de $\chi_{2}(z)$ son conocidos. Y, lamentablemente, $z = 3^{-1/2}$ no es el caso. Del mismo modo,
$$ \int_{0}^{\pi/2} \frac{x\cos x}{\sin^{2}x + 3} \, dx = \frac{\pi^{2}}{12\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3}} \chi_{2}(2-\sqrt{3}). $$
