Multiplicar exactamente dos sumas.

Question

Considera la integral: $$\int_0^1 \frac{\sin(\pi x)}{1-x} dx$$ Quiero hacerlo mediante series de potencias y obtener una solución exacta.

En series de potencia, tengo $$\int_0^1 \left( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(\pi x)^{2n+1}}{(2n+1)!} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} x^n \right)\,\,dx$$ Mi pregunta es: ¿cómo puedo multiplicar estas sumas? He buscado en internet, sin embargo, en todos los casos que he encontrado simplemente truncan la serie y encuentran una aproximación.

Muchas gracias

Answer 1

Tomemos un caso más abstracto, tratando de multiplicar $\sum_{k=0}^\infty a_n$ y $\sum_{k=0}^\infty b_n$ . Obsérvese que en la suma resultante tendremos $a_i b_j$ para todas las posibilidades de $i,j \in \mathbb{N}$ .

Una forma de hacerlo compacto es sumar a través de las diagonales. Piensa en un entramado de números enteros en el primer cuadrante de $\mathbb{R}^2$ . Dibujando las diagonales (origen, luego a lo largo de $x+y=1$ entonces a lo largo de $x+y=2$ etc.), observe que el que se encuentra a lo largo de la línea $x+y=n$ tendrá una longitud $n+1$ puntos enteros, y la suma de los índices a lo largo de todos los puntos será $n$ - es decir $(n,0),(n-1,1),\ldots,(k,n-k)\ldots,(0,n)$ . Así que podemos renumerar la suma en base a estas diagonales, obteniendo

$$ \left(\sum_{k=0}^\infty a_n\right) \left(\sum_{k=0}^\infty b_n \right) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{j,k\text{ along } x+y=n} a_k b_j = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}. $$