Finitely presentado sub-grupos de GL(n,C)

Question

Aquí hay dos preguntas acerca de finitely generado y finitely presentan grupos (FP):

1) hay un ejemplo de un FP grupo que no admite un homomorphism a $GL(n,C)$ con trivial kernel para cualquier n?

La segunda pregunta es modificado de acuerdo a la sujestion de Greg a continuación.

2) Para que $n$ dado dos subgrupos de $GL(n,C)$ generado por explícita listas de matrices, junto con finito de las listas de las relaciones y la promesa de que ellos son suficientes, existe un algoritmo para determinar si son isomorfos como grupos?"

En ambos casos no nos impone ninguna conidtion en el grupo (aparte de estado FP), en particular, no tiene que ser discretos en $GL(n,C)$.

Answer 1

Aquí está una imagen más completa para ir con David y Richard respuestas.

Es un teorema de Malcev que un finitely presentó el grupo de $G$ es residual lineal si y sólo si es residual finito. La prueba es muy intuitivo: Las ecuaciones para una representación de la matriz de $G$ son algebraicas, por lo que hay una solución algebraica si hay alguna solución. A continuación, puede reducir el campo de la solución a un campo finito, siempre y cuando se evite todos los números primos que se producen en los denominadores de las matrices.

La misma prueba muestra que $G$ no tiene no trivial lineal representaciones si y sólo si no tiene subgrupos de índice finito. Así Higman del grupo tiene esta propiedad.

Un refinado cuestión es encontrar un finitely presentado el grupo que es residual finito, pero sin embargo no es "lineal" en el sentido de tener una sola fieles finito-dimensional de la representación. Parece que el automorphism grupo de finitely libres generados por el grupo, $\text{Aut}(F_n)$, es un ejemplo. Nielsen encontró un número finito de presentación de este grupo, también es conocido por ser residual finito, sin embargo, Formanek y Procesi mostró que no es lineal al $n \ge 3$. Más recientemente, Drutu y Sapir encontrado un ejemplo con dos generadores y un relator.

Answer 2

El siguiente contraejemplo es debido a Higman; me enteré de Terry Tao del blog.

Considerar el grupo de los generadores $a$, $b$, $c$ y $d$, y las relaciones $ab=b^2a$, $bc=c^2 b$, $cd=d^2c$ y $da=a^2d$. Este grupo es infinito (de hecho, el subgrupo generado por a $a$ $c$ es gratis), pero no tiene trivial mapa a $GL_{n}(\mathbb{C})$.

Ver a Terry post, especialmente Comentario 2, para una muy buena exposición de este hecho.

Answer 3

Otro buen ejemplo es el Baumslag-Solitar grupo $\langle a,b \ | \ ab^2a^{-1} = b^3 \rangle$, que no es hopfian, y así no es residual finito, por lo que no puede ser lineal.

Answer 4

Usted puede combinar el Bridson--Miller papel que Agol menciona con el trabajo reciente de Haglund y Sabio para mostrar que el problema algorítmico en la parte (2) de la pregunta no siempre es solucionable. Haglund y Sabio de la versión de los Rasgones de la Construcción toma como entrada cualquier finitely presentado el grupo Q y salidas de una corta secuencia exacta

1 -> K -> G -> P -> 1

donde K es finitely generado (y el infinito) y G es una de torsiones, palabra hiperbólico subgrupo de GL(n,Z). Teniendo Q ser un no-abelian gratis de grupo, la resultante G funcionará como entrada para el Bridson--Miller resultado.

Así que usted no necesita probar que el mapeo de los grupos de la clase son lineales!

Comentarios

• No está claro qué tan pequeño puede tomar la n a ser. Va a ser bastante grande en esta construcción.
• En el próximo trabajo de Bridson y sinceramente suyo en una vena similar, nos muestran que la hipótesis de la parte (2) son en realidad muy difícil de lograr. Producimos una secuencia finita de conjuntos de enteros de las matrices que generan un finitely presentable grupo, pero tal que no existe ningún algoritmo para calcular una presentación para estos grupos.

Answer 5

Este trabajo muestra que la respuesta a la 2) es falsa en la categoría de finitely presentado residual grupos finitos. Como Greg señala, esto es diferente de la categoría de finitely presentado lineal de los grupos.

Adenda: En un papel de Bridson y Miller (que he encontrado de Igor enlace a Miller de la encuesta), muestran que el problema de isomorfismo de los subgrupos de $\Gamma\times\Gamma\times F$ es indecidible, donde $\Gamma$ es un particular hiperbólico grupo (que es gratis-por-finitely generados) y $F$ es gratis. Como se mencionó en el documento, Mosher construido gratis-por-superficie hiperbólica grupos, que por lo tanto podría trabajar como $\Gamma$. Estos grupos se incruste en la clase de asignación de grupo de los que una vez pinchada la superficie, por lo que si la asignación de los grupos de la clase de una vez perforado superficies son lineales, esta sería la respuesta 2). Sin embargo, la única clase de asignación grupos conocidos lineal son los perforado esfera/trenza y en los grupos de género 2 asignación de grupo de clase.