Demostrando a través de la definición de límite

Question

Probar $$\lim_{x\to 2}\frac{x^2+4}{x+2}=2$$ a través de la definición.

Mi solución:

Fix $\epsilon >0$ y encontrar $\delta$ \begin{align} 0<|x-2|<\delta &\Rightarrow \left| \frac{x^2+4}{x+2}-2 \right| < \epsilon\\ &\Rightarrow\left|\frac{x(x-2)}{x+2}\right| < \epsilon \end{align} Deje $\delta <1$, $0<|x-2|<1$ $x\in (1,3)$ $x>0$ $x+2>0$ $$0<|x-2|<1 \Rightarrow \frac{x}{x+2}|x-2|<\epsilon$$ En conclusión $\delta :=\min \left\{ 1,\frac{5\epsilon}3\right\}$

Desafortunadamente la respuesta no es correcta (de acuerdo a mi libro). Dice $\delta :=\min \left\{ 1,\epsilon \right\}$. ¿De dónde me equivoco?

Answer 1

Dado que el $x \in (1,3)$, queremos encontrar una cota superior para: $$ \frac{x}{x+2} $$ Para aumentar el valor de esta fracción, se puede maximizar el numerador y minimizar el denominador. En efecto, desde el $x < 3$$x + 2 > 3$, tenemos que: $$ \frac{x}{x+2} < \frac{3}{3} = 1 $$ Por lo tanto, tenemos que: $$ \frac{x}{x+2}|x-2| < |x -2| < \epsilon $$ siempre que elegimos $\delta :=\min \left\{ 1,\epsilon \right\}$.

Answer 2

Creo que se equivocó en la final. Recuerde que $1 < |x| < 3$ si suponemos $\delta < 1$. Así que: $$\begin{align} 0<|x-2|<\delta &\Rightarrow \left| \frac{x^2+4}{x+2}-2 \right| < \epsilon\\ &\Rightarrow\left|\frac{x(x-2)}{x+2}\right| < \frac{3\delta}{|3| - 2} = 3 \delta < \epsilon \end{align}$$ Así que tome $\delta = \min\{1, \epsilon/3\}$. Pero $\epsilon/3 < \epsilon$, por lo que somos buenos.

Answer 3

Ser consciente de que varios de $\delta$ funcionará para cualquier $\epsilon>0.$ Nota, por ejemplo, que si $\delta=\delta_0$, $\delta=\frac12\delta_0$ trabaja también-y de manera más general, cualquier $0<\delta<\delta_0$ funciona bien.

El $\delta$ se encuentra todavía hace el truco. El libro simplemente encontrar un (potencialmente) más pequeña.

Usted no ha justificado su $\delta,$ sin embargo. En su lugar, usted podría considerar el siguiente enfoque.

Si $0<\delta\le 1,$ $0<|x-2|<\delta,$ tenemos que $x\in(1,3),$ así, en particular,$x>0$$x+2>0,$, por lo que $$\left|\frac{x(x-2)}{x+2}\right|=\frac{x}{x+2}|x-2|<\frac{x}{x+2}\delta.$$ Observing moreover that $$\frac{x}{x+2}=1-\frac2{x+2}<1-\frac2{3+2}=\frac35$$ whenever $x\in(1,3),$ it follows that for such $\delta$ and for $0<|x-2|<\delta,$ we have $$\left|\frac{x(x-2)}{x+2}\right|<\frac35\delta.$$ Therefore, putting $\delta=\min\left\{1,\frac{5\epsilon}3\right\},$ vemos que....

Un par de spots probablemente podría utilizar un poco más justificación que el, pero que al menos debería darte una idea.

Answer 4

He estado mirando mi pantalla del ordenador en la incredulidad. Cualquier persona con una formación en matemáticas, cuando se da este ejercicio, va a hacer la siguiente instantánea observaciones:

El denominador de $f(x)$ es perfectamente adiestrados y lejos de ser un cero en el barrio de $x = 2$. Lo mismo es cierto para el numerador de $f(x)$. Por lo tanto el límite de $x$ $2$se encuentra por sustitución directa. El límite es, simplemente,$f(2) = 2$.

Puesto que no hay complicaciones de ningún tipo con el anterior razonamiento, creo que sería excesivo para solicitar una prueba. Sin embargo, un maestro o de un científico en un buen estado de ánimo puede señalar que la serie de Taylor de $f(x)$ $x = 2$ es de buen comportamiento. Él puede incluso calcular los primeros términos. Que debería ser suficiente!

El epsilon-delta método podría ser riguroso, pero también es engorroso y en casos como este uno innecesarios.