En otras palabras, ¿cómo puedo demostrar que estas dos definiciones de $e$ es igual? Vi a estas dos definiciones, tratando de encontrar pruebas para$\frac{d}{dx}e^x$$\frac{d}{dx}\ln x$; algunos utilizan la definición anterior, y otros que se utiliza el último, y no puedo encontrar una prueba de que estas dos definiciones son iguales. Entonces, ¿cómo puedo demostrarlo? Gracias!
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camickr
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De $e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$ fácilmente de la siguiente manera $e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n$$x>0$.
Si usted demostrar que, incluso,$e=\lim\limits_{n\to-\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$,$e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n$$x<0$.
Expandir la expresión dentro del límite: $$\left(1+\frac xn\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk\frac{x^k}{n^k}=\sum_{k=0}^n\frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{n^k}\frac{x^k}{k!}$$
Para una fija $k$ tenemos $\frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{n^k}\to1$, por lo que no es difícil ver la $$\left(1+\frac xn\right)^n\to\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}$$ utilizando el hecho de que $\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}<\infty$ y $\frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{n^k}<1$.
El límite sigue fácilmente de esto (de hecho, hemos encontrado toda la serie de Taylor para $e^x$).
Alqatrkapa
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Creo que el problema aquí es que la toma de $e^x$ no está correctamente definido. La definición de $e = \lim_{n\to\infty} (1 + \frac{1}{n})^n$ es algo que siempre he encontrado dissatisfying. Aquí es un enfoque alternativo que también cumplir con su deseo para las pruebas de su derivado fórmulas.
Definir la función de registro $\mathrm{ln}: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ como sigue: $$\mathrm{ln}(x) = \int_{1}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{t}$$ A partir de esto todo lo que sigue. Hemos inmediatamente propiedades tales como $\mathrm{ln}(ab) = \mathrm{ln}(a) + \mathrm{ln}(b)$. También tenemos por el Teorema Fundamental del Cálculo que $\mathrm{ln}'(x) = \frac{1}{x}$. Tenga en cuenta también que desde $f:t\mapsto 1/t$ es estrictamente positivo, $\mathrm{ln}$ es uno-a-uno. No es difícil mostrar que $\mathrm{ln}$ es surjective. Por lo tanto, definir $e$, que es el único real positivo tal que $\mathrm{ln}(e) = 1$. Uno puede comprobar que el logaritmo natural de su límite es el de un bien directamente.
Además, definir la función exponencial $\exp(x)$ como la inversa de a $\mathrm{ln}$. Podemos definir entonces la exponenciación de un número real $a^b = \exp(b \;\mathrm{ln}( a))$. Ahora esto puede parecer circular: no es la exponenciación ya definido? Sólo para $b \in \mathbb{Z}$. Uno puede comprobar que nuestra definición de exponenciación confirma que $a^n = a*a*\ldots*a$ usando la propiedad de que la $\exp(a+b) = \exp(a)\exp(b)$ (probado por tomar el inverso de ambos lados, esencialmente).
Para tomar la derivada de $\exp(x)$, usamos la regla de la cadena: $$1 = \frac{d}{dx}x = \frac{d}{dx} \mathrm{ln}(\exp(x)) = \frac{exp'(x)}{exp(x)}$$ Por lo tanto, $\exp'(x) = \exp(x)$.
Una nota final: Desde $\mathrm{ln}(e) = 1$,$\exp(x) = e^x$.
