¿Qué cosas razonables hay que demostrar sobre la Conjetura de Collatz?

Question

Estoy escribiendo un trabajo de grado sobre la $3n+1$ problema, y estoy buscando algunos teoremas relacionados con el problema que sean razonables para que alguien con mi formación matemática los demuestre. Estoy cerca del final de mis estudios universitarios. He tenido una introducción bastante básica a la Teoría de Números y a la Teoría de Grupos. También he tomado algunos cursos de introducción a la informática. Esos son los únicos cursos que he tomado que parecen ser relevantes para el problema, pero por lo demás mis clases de matemáticas han sido: la secuencia de cálculo habitual, análisis real, topología introductoria, álgebra lineal.

Una buena respuesta a mi pregunta sería la siguiente:

• Enuncie uno o más teoremas no triviales relacionados con la conjetura de Collatz, o haga referencia a fuentes que contengan este tipo de información.
• NO se indicará ninguna prueba a menos que una prueba o una prueba parcial sea esencial para que alguien con mis requisitos sea capaz de proporcionar una prueba completa.

Teoremas que ya he demostrado:

Si $L(n)$ es una función que cuenta el número de mapeos en la función Collatz para $n$ para llegar a 1, entonces si $n = 8k+4$ , $L(n) = L(n+1)$ .

Si $n = 128k+28$ entonces $L(n) = L(n+2)$ .

Answer 1

El punto de partida de la literatura es el estudio realizado por Jeff Lagarias hace diez años:

math/0309224 El problema 3x+1: Una bibliografía anotada (1963--1999) (ordenada por autor). Jeffrey C. Lagarias. math.NT (math.DS). https://arxiv.org/abs/math/0309224

Otros artículos de una búsqueda en arxiv Front para Collatz y 3x+1:

math/0608208 El problema de 3x+1: una bibliografía comentada, II (2000-2009). Jeffrey C. Lagarias. math.NT (math.DS) https://arxiv.org/abs/math/0608208

arXiv:0910.1944 Modelos estocásticos para los problemas 3x+1 y 5x+1. Alex V. Kontorovich, Jeffrey C. Lagarias. en: The Ultimate Challenge: The 3x+1 problem, Amer. Math. Soc.: Providence 2010, pp. 131--188. math.NT. https://arxiv.org/abs/0910.1944

math/0509175 Ley de Benford para la $3x+1$ función. Jeffrey C. Lagarias, K. Soundararajan. J. London Math. Soc. 74 (2006), 289--303. math.NT (math.PR). https://arxiv.org/abs/math/0509175

math/0412003 La ley de Benford, los valores de las funciones L y el problema 3x+1. Alex V. Kontorovich, Steven J. Miller. Acta Arithmetica 120 (2005), no. 3, 269-297. math.NT (math.PR). https://arxiv.org/abs/math/0412003

y

https://arxiv.org/abs/math/0411140

https://arxiv.org/abs/math/0205002

https://arxiv.org/abs/math/0201102

https://arxiv.org/abs/math/0204170

Hay muchos trabajos poco serios sobre este tema en el mismo sitio, he seleccionado los anteriores a partir de trabajos que he leído o de autores cuyos otros trabajos he visto.

Existe también un célebre teorema de John H Conway en el que demuestra que la generalización natural del problema de Collatz, en el que se aplican diferentes funciones lineales a $n$ en varias progresiones aritméticas (partiendo todos los enteros), puede simular un ordenador . Una consecuencia es que es indecidible determinar si tal iteración hace un bucle cuando se inicia desde $1$ .

Answer 2

Una relación importante con otros problemas de teoría de números es la de la distancia de potencias perfectas de 2 y 3, para la que existe mucho material, incluso accesible en línea. La existencia de la los denominados "1-ciclos" 1 (que es toda una clase de ciclos posibles de longitud arbitraria pero de cierta estructura simple) depende directamente de la pregunta, si $${k3^N-1 \over k2^N-1}=2^A$$ existe en números naturales N,A y k (además de para la solución "trivial" (N,A,k)=(1,1,1), lo que lleva al problema (no resuelto) observado en la conjetura de Waring si $$(3/4)^N \lt \{ ( 3/2)^N \} \lt 1-(3/4)^N$$ $\qquad \qquad$ donde $\{ \cdot \}$ significa la parte fraccionaria (ver por ejemplo mundo de las matemáticas )

Aquí también es relevante el concepto de los "números z" de K.Mahler, que también relaciona los "1-ciclos" en una visión general con las potencias de 3/2 y tampoco es demasiado difícil de entender para un tratado que enfoca un publicum de pregrado.

1 Simons, John; de Weger, Benne , Límites teóricos y computacionales para (m)-ciclos del problema (3n+1) Acta Arith. 117, nº 1, 51-70 (2005). eudml , ZBL1136.11019 .