Demostrar la serie $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \ln(n)(\ln(\ln(n)))^2}$ converge

Question

Necesito demostrar la serie $$\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n \ln(n)(\ln(\ln(n)))^2}$$ converge.

No puedo utilizar la prueba de comparación, ya que si se le quita cualquier término en el denominador sé que van a divergir. Cualquier ayuda por favor?

Answer 1

Sugerencia. Dado que el término general es positiva y la disminución de la secuencia, por la integral de la prueba, la serie se comporta como la siguiente integral: $$ \int_3^{\infty}\frac{{\rm d} x}{x \ln x \:(\ln(\ln x))^2}. \tag1 $$ By the change of variable $$u=\ln(\ln x), \quad du=\dfrac{dx}{x \ln x },$$ fácilmente nos han

$$ \begin{align} \int_3^{\infty}\frac{{\rm d} x}{x \ln x \:(\ln(\ln x))^2} \mathrm dx=\int_{\ln(\ln 3)}^{\infty}\frac{{\rm d} u}{u^2} =\left[ -\frac{1}{u}\right]_{\ln(\ln 3)}^{\infty} =\frac1{\ln(\ln 3)}. \end{align} $$

Su primera serie es convergente.

Edit. Gracias a user109899 la observación, hemos seleccionado el término viene de $n=2$.

Answer 2

Sugerencia. Usted puede aplicar la prueba de condensación de Cauchy ya que la secuencia es positiva y decreciente:

$\sum_n a_n$ converge si y sólo si $\sum_n 2^n \:a_{2^n}$ converge.

Mediante el establecimiento $\displaystyle a_n=\frac{1}{n \ln(n)(\ln(\ln(n)))^2} $, podemos conseguir fácilmente $$\sum_n 2^n \:a_{2^n}=\sum_{n\geq2} \frac{2^n}{2^n \cdot n \ln2\cdot(\ln n +\ln 2)^2}\leq \frac1{\ln 2}\sum_{n\geq2} \frac{1}{n \ln^2 n}.$$ El último de la serie pueden ser tratados de la misma manera, se puede considerar $$ \sum_{n\geq2}\frac{2^n }{2^n \ln^2 (2^n)}= \frac1{\ln^2 2}\sum_{n\geq2}\frac{1}{n^2 }. $$ Su primera serie es convergente.