"Deformación" del núcleo de un mapa lineal

Question

Se sabe que las raíces de un polinomio mónico de grado fijo varían continuamente (¿suavemente?) con sus coeficientes, al menos sobre $\mathbb{C}$ . Mi pregunta es si existe tal resultado para los mapas lineales. Para ser precisos:

Dejemos que $U \subseteq \mathbb{R}^k$ sea un conjunto abierto y $A: U \to M_{m \times n}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{mn}$ un mapa suave. Supongamos que para todo $t \in U$ , $\ker(A(t))$ es $l$ -dimensional. Fijar $t_0 \in U$ . ¿Existe un conjunto abierto $\tilde{U} \subseteq U$ que contiene $t_0$ y una función suave $f: \tilde{U} \times \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n$ tal que $f(t,\mathbb{R}^l) = \ker(A(t))$ para todos $t \in \tilde{U}$ ?

Creo que esto es cierto. He aquí un ejemplo. Dejemos que $A(t) = \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \end{pmatrix}$ . Entonces para $t \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ tenemos $\ker A(t) = \langle (\tan t, 1) \rangle$ , por lo que podemos tomar $f(t,\lambda) = \lambda (\tan t, 1)$ . Intuitivamente, parece que si el rango de un mapa lineal es fijo, no puede ocurrir nada demasiado catastrófico a sus conjuntos de niveles - de forma similar a como no ocurre nada extraño con las raíces de un polinomio excepto su número al variar los coeficientes.

¿Puede alguien presentar un contraejemplo o aportar una prueba de este hecho?

Answer 1

He aquí un esquema. Trabajando en el subconjunto $W$ de matrices $A$ con rango $r$ obtenemos un mapa continuo $\rho\colon W\to G(r,n)$ (el Grassmanniano de $r$ -), donde $\rho(A)=\text{Row}(A)$ . Ahora, dejemos que $C\colon G(r,n)\to G(n-r,n)$ se define por $C(\xi)=\xi^\perp$ . Entonces $C\circ\rho(A)=\ker(A)$ nos da un mapa continuo (de hecho, suave) $W\to G(n-r,n)$ . ( $W$ es de hecho un submanifold liso).

Answer 2

Sí. Elija $x_1,\ldots,x_{m-l}\in \mathbb R^n$ tal que $y_1(t)=A(t)x_1,\ldots,y_{m-l}(t)=A(t)x_{m-l}$ forman una base para $\mathrm{img}(A(t_0))$ cuando $t=t_0$ y $y_{m-l+1},\ldots,y_{m}\in \mathbb R^m$ que se extienden $y_1(t_0),\ldots,y_{m-l}(t_0)$ a una base para $\mathbb R^m$ . Entonces el determinante $$\det\begin{pmatrix} y_1(t) | \cdots | y_{m-l}(t) | y_{m-l+1} | \cdots | y_m\end{pmatrix}$$ varía suavemente con $t$ , así que tenemos algo de vecindad $\tilde U\subseteq U$ de $t_0$ en el que es distinto de cero. Así, en $\tilde U$ la función $$Q(t)=P\begin{pmatrix} y_1(t) | \cdots | y_{m-l}(t) | y_{m-l+1} | \cdots | y_m\end{pmatrix}^{-1}$$ es suave, donde $P$ denota la proyección sobre la primera $m-l$ coordenadas. Tenga en cuenta que $Q(t)$ proyectos $\mathrm{img}(A(t))$ en $\mathbb R^{m-l}$ .

Definir $a:\tilde U\times \mathbb R^n\to \mathbb R^{m-l}$ por $a(t,x)=Q(t)A(t)x$ . Reformulando su pregunta, usted quiere saber si $\cup_{t\in \tilde U} \ker(A(t))=a^{-1}(0)$ es un colector liso. Para ver esto, observe que cualquier parametrización local suave de $a^{-1}(0)$ cerca de $\{t_0\}\times \{0\}$ se extiende a una parametrización suave para alguna vecindad de $\{t_0\}\times \ker (A(t_0))$ por linealidad, y así tenemos alguna vecindad $\tilde U'$ de $t_0$ tal que $f(t,\mathbb R^l)=\ker(A(t))$ para $t\in \tilde U'$ . Por un teorema estándar, basta con comprobar que $0$ es un valor regular de $a$ . Pero $a$ es un mapa lineal suryente para todos los fijos $t$ por lo que su diferencial en cualquier punto debe ser sobreyectiva, por lo que todos los valores de $a$ son regulares.