Encontrar una generalización para $\int_{0}^{\infty}e^{- 3\pi x^{2} }\frac{\sinh(\pi x)}{\sinh(3\pi x)}dx$

Question

$\;\;\;\;$ Estaba leyendo la introducción del libro de Paul J. Nain "La fabulosa fórmula del Dr. Euler" donde habla del sentido de la belleza en las matemáticas y cita a G.N.Watson diciendo que una fórmula particular le dio "... una emoción que no se distingue de la que siento cuando entro en la Sagrestia Nuova de la Capelle Medicee y veo ante mí la austera belleza de las cuatro estatuas que representan el Día, la Noche, la Tarde y la Aurora que Miguel Ángel ha colocado sobre las tumbas de Guiliano de'Medici y Lorenzo de'Medici" . La fórmula es \begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{-3\pi x^{2} }\frac{\sinh(\pi x)}{\sinh(3\pi x)}dx=\frac{1}{e^{2\pi/3}\sqrt{3}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{-2n(2n+1)\pi}}{(1+e^{-\pi})^{2}\cdots(1+e^{-(2n+1)\pi})^{2}} \end{align*} Tengo una pregunta relacionada con esta fórmula: ¿Es posible obtener una generalización de la siguiente forma \begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{- m\pi x^{2} }\frac{\sinh(\pi x)}{\sinh(m\pi x)}dx \end{align*} donde $3$ se sustituye por $m$ ?

Answer 1

Me refiero a esta pregunta en lo siguiente.

Parece que se puede aplicar el Teorema de Plancherel-Parseval. Es decir, dadas las funciones $f(x)$ , $g(x)$ y sus respectivas transformadas de Fourier $\hat{f}(k)$ , $\hat{g}(k)$ tenemos

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \, f(x) g(x)^* = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} dk \, \hat{f}(k) \hat{g}(k)^* $$

Cuando $f(x) = e^{-m \pi x^2}$ podemos demostrar que $\hat{f}(k) = m^{-1/2} e^{-k^2/(4 m \pi)}$ con pocos problemas. Sin embargo, necesitamos la ayuda de esa pregunta para el siguiente FT:

Cuando

$$g(x) = \frac{\sinh{\pi x}}{\sinh{m \pi x}}$$

entonces

$$\hat{g}(k) = \frac{1}{m} \frac{\sin{(\pi/m)}}{\sin{(\pi/m)} + \cosh{(k/m)}}$$

(Atribuyo a @Sasha el resultado aceptado.) Por lo tanto, tenemos

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{-m \pi x^2} \frac{\sinh{\pi x}}{\sinh{m \pi x}} = \frac{\sin{(\pi/m)}}{2 \pi m^{3/2}} \int_{-\infty}^{\infty} dk \, \frac{e^{-k^2/(4 m \pi)}}{\sin{(\pi/m)} + \cosh{(k/m)}}$$

Y lo dejaré así por ahora; sospecho que se puede hacer algo con esto.

Answer 2

La integral de la pregunta está relacionada con una de las diversas funciones theta de imitación definidas por Ramanujan.

Dejemos que $q$ sea un número real con $|q| < 1$ y definir la función theta simulada $\omega(q)$ por ecuación $$\omega(q) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{q^{2n(n + 1)}}{(1 - q)^{2}(1 - q^{3})^{2}\dots(1 - q^{2n + 1})^{2}}\tag{1}$$ para que $$\omega(-q) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{q^{2n(n + 1)}}{(1 + q)^{2}(1 + q^{3})^{2}\dots(1 + q^{2n + 1})^{2}}\tag{2}$$ Si $q = e^{-\pi}$ entonces la serie de la pregunta es $\omega(-q)$ .

En su papel G. N. Watson demostró la siguiente fórmula de transformación para $\omega(-q)$ . Dejemos que $\alpha, \beta$ sean números reales positivos con $\alpha\beta = \pi^{2}$ y que $q = e^{-\alpha}, q_{1} = e^{-\beta}$ entonces $$q^{2/3}\omega(-q) + \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}q_{1}^{2/3}\omega(-q_{1}) = 2\sqrt{\frac{3\alpha}{\pi}}I(\alpha)\tag{3}$$ donde $$I(\alpha) = \int_{0}^{\infty}e^{-3\alpha x^{2}}\frac{\sinh \alpha x}{\sinh 3\alpha x}\,dx\tag{4}$$ La integral $I(\alpha)$ es lo correcto una fructífera generalización de la integral $I$ que se da en la pregunta. De hecho $I = I(\pi)$ y poniendo $\alpha = \beta = \pi$ en la ecuación $(3)$ obtenemos $$I = I(\pi) = \frac{q^{2/3}}{\sqrt{3}}\omega(-q)$$ donde $q = e^{-\pi}$ y este es el resultado dado en cuestión.