Punto fijo del automorfismo de la curva

Question

El ejercicio I.F-8 de "Arbarello, Cornabla, Griffiths, Harris: Geometría de las curvas algebraicas" afirma que para un género algebraico complejo $g$ y su automorfismo $\varphi$ de orden $n$ el número de puntos fijos $\alpha$ de $\varphi$ satisface

$\alpha\leq \frac{2g-2+2n}{n-1}$

con desigualdad sólo si el cociente $C/\varphi$ tiene el género $0$ (es decir $\mathbb{P}^1$ ).

Así que la desigualdad en sí es una parte fácil (se deduce de Riemann-Hurwitz). Pero no veo por qué el número de puntos fijos es exactamente ese número si $g(C/\varphi)\ne 0$ . ¿Puede ayudarme?

Editado: de hecho este número puede ser no entero y es confuso.

Answer 1

El mapa $\pi:C\to C/\varphi$ está totalmente ramificado sobre los puntos fijos de $\varphi$ . Por tanto, si la igualdad se mantiene en la desigualdad dada, obtenemos que el grado del divisor de ramificación de $\pi$ es $\geq \alpha.(n-1)=2g-2+2n$ . Por otra parte, es fácil observar que para un grado $n$ morfismo de curvas $f:X\to Y$ el grado del divisor de ramificación es máximo si $Y=\mathbb{P}^1$ y en este caso es igual a $2g-2+2n$ .

Así que, $\mbox{deg} R=2g-2+2n$ y por Riemann Hurwitz $g(C/\varphi)=0$ .