Encuentre todo m real tal que $x^3-2x^2-2x+m$ tiene 3 raíces racionales distintas.
Fuente: Papel de examen de la escuela. Ni idea de por qué parece tan difícil
No creo que el teorema de la raíz racional funcione, ya que m no es necesariamente un número entero (aunque claramente es racional)
Suponiendo que $m=\frac{r}{s}$ necesitamos comprobar $sx^3-2sx^2-2sx+r=0$ para todos $s,r$ coprime...
Dejemos que $a, b, c$ sean las raíces racionales. Entonces tenemos $$a+b+c=2,\quad ab+bc+ca=-2, \quad m=-abc.$$ Sustituir $c=2-a-b$ , $$a^2+b^2+ab-2(a+b)-2=0.$$ (Si $a=b$ entonces $a$ es irracional) Así, $$\Delta_b=(a-2)^2-4(a^2-2a-2)=-3a^2+4a+12$$ es un cuadrado racional.
El resto es fácil.
Añadido después de la cena. Desde $$-3a^2+4a+12=-3(a+\frac{2}{3})^2+4\times \frac{10}{3}$$ es un cuadrado. Sea $\frac{3}{2}(a+\frac{2}{3})=\frac{p}{q}$ (Supongamos que $\gcd(p,q)=1$ ), entonces $$-3p^2+30 q^2$$ es un cuadrado de número entero, digamos $3r$ Por lo tanto $$-p^2+10q^2=3r^2.$$ Está claro que $2|p-r$ . Si ambos son pares, entonces $q$ es incluso demasiado, contradiciendo $\gcd(p,q)=1$ . Así que $p$ y $r$ ambos son impar, entonces $p^2+3r^2=4 \mod(8)$ Por lo tanto $q$ es par, por lo tanto $10q^2=0 \mod (8)$ Esto es una contradicción con $p^2+3r^2=10 q^2$ .
Si no me equivoco, Conclusión: No hay $a, b, c$ no hay $m$ .
SUGERENCIA:
Utilice Teorema de la raíz repetida para identificar los valores de $m$ dando raíces repetidas
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