¿Cómo reconocer una integral impropia?

Question

Creo que $\displaystyle \int ^{4} _0 \frac{\sin x}{x} dx$ no es una integral impropia. ¿Es esto cierto? Si no lo es, entonces ¿cómo se pueden reconocer las integrales impropias en general?

Answer 1

No es una integral impropia porque $\dfrac{\sin x} {x}$ tiene una discontinuidad removible en $0$. Si $f$ tiene una discontinuidad esencial infinita en algún punto de un intervalo $I$, entonces tienes una integral impropia $\displaystyle\int_If(x) dx$. También obtienes una integral impropia si el intervalo $I$ donde estás integrando es ilimitado.

Answer 2

Para decirlo de forma sencilla, una integral impropia es aquella en la que hay algún problema con el integrando en el intervalo, o donde el intervalo es ilimitado. Por lo tanto, dado que

$$\frac{\sin(x)}{x}$$ no está definida en $x=0$, tu integral es efectivamente impropia. Lo que realmente estás evaluando es el límite $$\lim_{a\rightarrow 0+} \int_a^4 \frac{\sin(x)}{x} dx$$

El hecho de que el punto no definido esté en el límite no importa, si te hubieran pedido evaluar una integral como $$\int_{-1}^4 \frac{\sin(x)}{x} dx$$ realmente estarías evaluando $$\lim_{a\rightarrow 0-} \int_{-1}^a \frac{\sin(x)}{x} dx+ \lim_{b\rightarrow 0+} \int_b^4 \frac{\sin(x)}{x} dx$$ (nota que los límites son independientes; aquí no importa realmente ya que las integrales impropias evalúan a números finitos, pero en otros casos, sí).

Otro ejemplo de una integral impropia sería $$\int_{1}^\infty \frac{\sin(x)}{x} dx$$ que es una forma abreviada de $$\lim_{b\rightarrow \infty} \int_1^b \frac{\sin(x)}{x} dx$$

Algunas integrales impropias involucran integrandos que son ilimitados; estas también deben ser evaluadas como se mencionó anteriormente, con límites. A veces producen un resultado finito, a veces no.

Answer 3

En parte pienso que es debido al hecho de que $(\sin 4 )/ 4$ es un número real al igual que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0 ^{-} } (\sin x )/ x =1$.

También creo que el método general no es el de encontrar discontinuidades sino el de encontrar puntos de singularidades.