Probabilidad de que una vaca es de color negro, dado que he observado, al menos, un lado es negro

Question

Estoy en una granja con seis vacas; tres son de color blanco, dos son de color negro y uno es completamente negro en un lado y completamente blanco en la otra. Veo una vaca, de un lado, que parece ser de color negro (es decir, el lado que veo es que es negro). ¿Cuál es la probabilidad de que la vaca es negro?

Traté de encontrar una solución, pero es equivocado, ya que los conflictos con la solución que me dan. No entiendo completamente lo que me falta y a donde voy mal, así que agradecería algún consejo que me llevaría en la dirección correcta.

Deje $P$ ser el caso de que la vaca observo es completamente negro, y $S$ ser el evento de que al menos uno de los lados es negro. $S$ es dado, por lo que necesito encontrar a $P(B|S)$.

$P(B|S) = \frac{P(S|B)P(B)}{P(S)}$

$P(S|B) = 1$, ya que si la totalidad de la vaca es de color negro, a continuación, en menos de un lado es de color negro. $P(B) = \frac{1}{3}$ ya que hay dos vacas negras entre un grupo de seis. Y $P(S) = \frac{1}{2}$ ya que hay tres de las seis vacas con al menos uno de los laterales en negro.

por lo $P(B|S) = \frac{P(B)}{P(S)} = \frac{2}{3}$

Sin embargo, la respuesta que me dan es $\frac{4}{5}$

Answer 1

$P(S)$ no $1/2$. Hay $12$ lados se puede ver, todos igualmente probables, y $5$ de los lados son de color negro.

Por lo $P(S) = 5/12$. Este rendimientos $P(B \mid S) = (1/3)/(5/12) = 4/5$.

Answer 2

En algún momento de la probabilidad puede ser contrario a la intuición.

La clave aquí es tener en cuenta que "ver el lado negro de la vaca" es un evento diferente de "ver a una vaca con un lado negro". (Tenga en cuenta que si los dos colores de la vaca fueron a pie pasa con el lado blanco hacia usted, entonces usted no ver el lado negro de la vaca , pero que iba a ver una vaca con un lado negro.)

Que son cuatro veces más propensos a ver el lado negro de una de las vacas negras como se ve el lado negro de los dos colores de la vaca. (Hay dos de ellos, y cada uno de ellos tiene dos lados de color negro.)

Por lo $S$, en el caso de que al menos uno de los lados es negro, es un mal caso de uso. Usted necesita $B$, en el caso de que el lado que se ve negro.

Así que la probabilidad de que la vaca es todo negro cuando se administra de que usted vea a un lado negro de la vaca es: $$\mathsf P(A\mid B) = \frac{\mathsf P(A\cap B)}{\mathsf P(T\cap B)+\mathsf P(A\cap B)} = \frac{4/12}{1/12+4/12} = \frac 4 5$$

Answer 3

¿Quiere decir que su primera frase "tres son de color blanco y dos son negros"? Hay una contradicción entre la sentencia y su cálculo de $P(B)$.

También, para calcular el $P(S)$, yo creo que se quiere contar cuántos lados de color negro que hay entre todas las vacas, no el número de vacas con al menos uno de los laterales en negro. Es igualmente probable ver a cualquier lado de cualquier vaca.