Cómo calcular el error estándar de una L-estimador?

Question

Estoy tratando de calcular el error estándar de la muestra espectral medida del riesgo, el cual es utilizado como un indicador de riesgo de la cartera. Brevemente, una muestra espectral de la medida del riesgo se define como $q = \sum_i w_i x_{(i)}$ donde $x_{(i)}$ son del orden de la muestra estadística, y $w_i$ es una secuencia monótona no creciente no negativo pesos que se suma a $1$. Me gustaría para calcular el error estándar de la $q$ (preferiblemente no a través de bootstrap). No sé mucho acerca de L-estimadores, pero a mí me parece que $q$ es un tipo de L-estimador (pero con restricciones adicionales impuestas en las pesas $w_i$), por lo que probablemente debería ser fácilmente solucionado el problema.

edit: por @srikant la pregunta, debo señalar que los pesos $w_i$ son elegidos a priori por el usuario, y debe ser considerado como independiente de las muestras $x$.

Answer 1

Parece que estoy atrapado probablemente con un bootstrap. Una posibilidad interesante aquí es calcular la exacta bootstrap covarianza', como se indica por Hutson & Ernst. Es de suponer que el bootstrap covarianza da una buena estimación del error estándar, asintóticamente. Sin embargo, el enfoque de Hutson & Ernst requiere el cálculo de la covarianza de cada par de estadísticas de orden, y por lo tanto este método es cuadrática en el número de muestras. Tal vez debería seguir con el bootstrap!

Answer 2

Como ustedes saben, a partir de

$$Var[q] = Var[\sum_i w_i x_{(i)}] = \sum_i\sum_j w_i w_j Cov[x_{(i)}, x_{(j)}]$$

de ello se deduce que sólo necesita calcular las varianzas y covarianzas de las estadísticas de orden. Para ello, diagonalize la matriz de covarianza! Aunque esto no se puede hacer en general, M. A. Stephens ha obtenido (de forma heurística) un asintótica de diagonalización. (Los vectores propios son los polinomios de Hermite.) En el espíritu de la PCA, la limitación de los cálculos para el mayor par de autovalores en gran medida puede reducir el esfuerzo computacional y podría producir una aproximación razonable, dependiendo de la estructura de la $w_i$. De hecho, si usted ajusta el peso del vector es una combinación lineal de un número pequeño de los vectores propios, que le aseguren un simple cálculo de $Var[q]$ y tal vez no le cuesta mucho en términos de la exactitud de $q$ sí. En el peor, un preliminar eigendecomposition de $\vec{w}$ entonces sólo requieren $O(N)$ cálculos de la varianza en lugar de $O(N^2)$.