Es $\eta^{24}(\tau)\,j(\tau) = {E_4}^3(q)$ ?

Question

Dada la función j $j(\tau)$ ,

$j(\tau) = 1728J(\tau)$ ,

donde $J(\tau)$ es el invariante absoluto de Klein, el Función eta de Dedekind $\eta(\tau)$ y lo siguiente Serie Eisenstein ,

$\begin{align} E_4 (q) &= 1+240\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3q^n}{1-q^n}\\[1.5mm] E_6 (q) &= 1-504\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^5q^n}{1-q^n}\\[1.5mm] E_8 (q) &= 1+480\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^7q^n}{1-q^n}\\ \end{align}$

donde,

$q = \exp(2\pi i \tau)$

¿Son ciertas las siguientes relaciones?:

$\begin{align} 1.\;\; \eta^{24}(\tau) &= \frac{{E_4}^3(q)}{j(\tau)}\\[1.5mm] 2.\;\; \eta^{24}(\tau) &= \frac{{E_6}^2(q)}{j(\tau)-1728}\\[1.5mm] 3.\;\; \eta^{48}(\tau) &= \frac{{E_8}^3(q)}{j^2(\tau)}\\ \end{align}$

Answer 1

Sí, estas tres relaciones son ciertas. Dado que $\eta^{24}$ es la forma de cúspide del nivel 1 del peso 12 $\Delta$ se pueden escribir como relaciones entre formas modulares de nivel 1, y son fáciles de comprobar porque los espacios de formas modulares relevantes tienen dimensiones finitas pequeñas.

Answer 2

La primera y la tercera identidad son fáciles de demostrar. Recordemos que el discriminante modular $\Delta = \Delta(\omega_1, \omega_2)$ se define por $$\Delta = g_2^3 - 27g_3^2,$$ donde $g_2 = g_2(\omega_1, \omega_2) = 60G_4(\omega_1, \omega_2)$ y $g_3 = g_3(\omega_1, \omega_2) = 140G_6(\omega_1, \omega_2)$ son los invariantes weierstrassianos. Además, definimos el invariante de Klein $J = J(\omega_1, \omega_2)$ y el $j$ -función por $$J = \frac{g_2^3}{\Delta} \quad \text{and} \quad j = 12^3 J,$$ respectivamente.

Dejemos que $\lambda \ne 0$ . Porque $g_2$ y $g_3$ son del orden $-4$ y $-6$ respectivamente, tenemos $$g_2(\lambda \omega_1, \lambda \omega_2) = \lambda^{-4} g_2 \quad \text{and} \quad g_3(\lambda \omega_1, \lambda \omega_2) = \lambda^{-6} g_3,$$ y $$\Delta(\lambda \omega_1, \lambda \omega_2) = \lambda^{-12} \Delta,$$ en consecuencia. Además, como $g_2^3$ y $\Delta$ son del mismo orden, $J(\lambda \omega_1, \lambda \omega_2) = J(\omega_1, \omega_2)$ . En particular, $$g_2(\tau) = \omega_1^4 g_2, \quad g_3(\tau) = \omega_1^6 g_3, \quad \text{and} \quad \Delta(\tau) = \omega_1^{12} \Delta$$ Por otro lado, $$J = J(\tau) \quad \text{and} \quad j = j(\tau),$$ es decir, tanto $J$ y $j$ son funciones de $\tau$ solo.

Utilizando la identidad clásica $\Delta(\tau) = (2\pi)^{12} \eta^{24}(\tau)$ , donde $\eta(\tau)$ es la función eta de Dedekind definida por $$\eta(\tau) = q^{1/12} \prod_{n = 1}^\infty (1 - q^{2n}), \quad q = e^{\pi i \tau}, \quad \textbf{I}[\tau] > 0,$$ obtenemos $$\eta^{24}(\tau) = \frac{\Delta(\tau)}{(2\pi)^{12}} = \frac{\omega_1^{12} g_2^3}{(2\pi)^{12} J(\tau)} = \frac{12^3 \omega_1^{12} g_2^3}{(2\pi)^{12} j(\tau)}.$$ En vista de un resultado conocido, $$E_{2k}(q) = 1 - \frac{4k}{B_{2k}} \sum_{n = 1}^\infty \frac{n^{2k - 1} q^{2n}}{1 - q^{2n}}, \quad q = e^{\pi i \tau}, \quad \textbf{I}[\tau] > 0,$$ donde $B_{2k}$ son los números de Bernoulli y $E_{2k}(q) = G_{2k}(\tau)/2\zeta(2k)$ obtenemos $$g_2(\tau) = 60G_4(\tau) = \frac{4\pi^4 E_4(q)}{3},$$ o, lo que es lo mismo, $$g_2 = \omega_1^{-4} \frac{4\pi^4 E_4(q)}{3},$$ Por lo tanto, $$\eta^{24}(\tau) = \frac{12^3 \omega_1^{12}}{(2\pi)^{12} j(\tau)} \left(\omega_1^{-4} \frac{4\pi^4 E_4(q)}{3}\right)^3 = \frac{E_4^3(q)}{j(\tau)}.$$ Por último, utilizando el hecho de que $E_8(q) = E_4^2(q)$ lleva a $$\eta^{48}(\tau) = \frac{E_8^3(q)}{j^2(\tau)}.$$

Ahora bien, la segunda identidad se deduce de la primera y del hecho de que $$J(\tau) = \frac{E_4^3(q)}{E_4^3(q) - E_6^2(q)}.$$ De hecho, tenemos $$E_6^2(q) = E_4^3(q) - 12^3 \frac{E_4^3(q)}{j(\tau)},$$ pero en vista de la primera identidad esto se convierte en $$E_6^2(q) = (j(\tau) - 12^3)\eta(\tau)^{24},$$ y el resultado es el siguiente.

Answer 3

Estas relaciones se demuestran fácilmente si utilizamos el nome $q = e^{2\pi i\tau}$ y utilizar la notación de Ramanujan de $P(q), Q(q), R(q)$ también.

Tenemos $$\begin{align} \eta(\tau) &= \eta(q) = q^{1/24}\prod_{n = 1}^{\infty}(1 - q^{n})\tag{1}\\ E_{2}(\tau) &= P(q) = 1 - 24\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{nq^{n}}{1 - q^{n}}\tag{2}\\ E_{4}(\tau) &= Q(q) = 1 + 240\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n^{3}q^{n}}{1 - q^{n}}\tag{3}\\ E_{6}(\tau) &= R(q) = 1 - 504\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n^{5}q^{n}}{1 - q^{n}}\tag{4}\\ E_{8}(\tau) &= Q^{2}(q) = 1 + 480\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n^{7}q^{n}}{1 - q^{n}}\tag{5}\\ j(\tau) &= \frac{1728E_{4}^{3}(\tau)}{E_{4}^{3}(\tau) - E_{6}^{2}(\tau)} = \frac{1728Q^{3}(q)}{Q^{3}(q) - R^{2}(q)}\tag{6} \end{align}$$ Excepto por el hecho de que $E_{8}(\tau) = Q^{2}(q) = E_{4}^{2}(\tau)$ mencionado en la ecuación $(5)$ todas las ecuaciones anteriores son definiciones de varias funciones de $q$ y las correspondientes funciones de $\tau$ .

Es fácil ver que $$P(q) = 24q\frac{d}{dq}\{\log \eta(q)\}\tag{7}$$ Y Ramanujan da las ecuaciones diferenciales fundamentales $$\begin{align} q\frac{dP(q)}{dq} &= \frac{P^{2}(q) - Q(q)}{12}\tag{8}\\ q\frac{dQ(q)}{dq} &= \frac{P(q)Q(q) - R(q)}{3}\tag{9}\\ q\frac{dR(q)}{dq} &= \frac{P(q)R(q) - Q^{2}(q)}{2}\tag{10} \end{align}$$ A partir de estas ecuaciones diferenciales es fácil ver que $$\begin{align} q\frac{d}{dq}\{Q^{3}(q) - R^{2}(q)\} &= 3Q^{2}(q)q\frac{dQ(q)}{dq} - 2R(q)q\frac{dR(q)}{dq}\notag\\ &= 3Q^{2}(q)\frac{P(q)Q(q) - R(q)}{3} - 2R(q)\frac{P(q)R(q) - Q^{2}(q)}{2}\notag\\ &= P(q)Q^{3}(q) - R(q)Q^{2}(q) - P(q)R^{2}(q) + R(q)Q^{2}(q)\notag\\ &= P(q)\{Q^{3}(q) - R^{2}(q)\}\notag \end{align}$$ y por lo tanto $$q\frac{d}{dq}\{\log(Q^{3}(q) - R^{2}(q))\} = P(q)\tag{11}$$ Ahora comparando $(7)$ y $(11)$ obtenemos $$Q^{3}(q) - R^{2}(q) = A\eta^{24}(q)$$ donde $A$ es constante. Comparando los coeficientes de $q$ en ambos lados podemos ver que $$A = 3\cdot 240 + 2\cdot 504 = 1728$$ para que $$Q^{3}(q) - R^{2}(q) = 1728\eta^{24}(q)\tag{12}$$ Utilizando esta identidad junto con la ecuación $(6)$ obtenemos la primera identidad en cuestión $$\eta^{24}(\tau) = \frac{E_{4}^{3}(\tau)}{j(\tau)}$$ y la tercera identidad en cuestión es el cuadrado de la primera identidad y el hecho de que $E_{8}(\tau) = E_{4}^{2}(\tau)$ como se indica en la ecuación $(5)$ .

La segunda identidad de la pregunta se deduce fácilmente de las ecuaciones $(6)$ y $(12)$ .