Me preguntaba acerca de la media (ponderada) el primer valor en la factorización de $n!$. $\\$ Si llamamos a $f(n)$ el promedio del primer valor en $n!$, $f$ parece aumentar en lugar de lineal.
Hay una explicación clara para que? Nada se conoce sobre el comportamiento asintótico? Sé que el número de números primos más pequeños, a continuación, $x$ es de aproximadamente $x/\log(x)$ pero aquí im un poco intrigado. Un amigo hizo un complot para que me de $f(n)$. En el siguiente link:
EDIT: Ya que mi pregunta no era claro para todo el mundo: me refería a la media ponderada de los números primos. Me refiero explícitamente a la fracción $$\frac{\sum_{p\leq n}p \sum_{k\geq 1}{[n/p^k]}}{\sum_{p\leq n}\sum_{k\geq 1}[n/p^k]} $$
https://sagecell.sagemath.org/?q=smlmgo
Gracias por cualquier sugerencia de antemano.
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t $< x$ es $\sim \frac{x}{\log x}$ ,
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A
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Y el primo mayor en la factorización de $n!$ es el mayor primo $\le n$ y es $> n - C(\epsilon) n^{\epsilon}$ para cualquier $\epsilon > 0$ y alguna constante $C$ en función de $\epsilon$ es.wikipedia.org/wiki/Prime_gap . pero para encontrar el valor medio, tendremos que mirar a $\displaystyle\frac{\sum_{p < x} p}{\sum_{p < x} 1}$ que es $\displaystyle\sim \frac{x^2 / \log(x)}{x / \log x} = x$
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Le sugiero que redacte su pregunta de otra manera. No es evidente lo que preguntas. ¿Podría utilizar más saltos de línea? El ejemplo que pones parece un revoltijo de números enteros. Además, el enlace que has dado no me sirve de nada. ¿Podrías incluir una imagen? Además, tienes que compartir los progresos que ya has hecho. ¿Has mirado la página de wikipedia sobre el teorema de los números primos? ¿Qué falta en esa página que necesites para hacer tu trabajo? El corpus de trabajo sobre el conteo de números primos es bastante amplio; sospecho que podrás encontrar algo.
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Ahora si consideramos el valor medio ponderado, contando la multiplicidad, será diferente. $\displaystyle n! = \prod_{p \le n} p^{\sum_k \lfloor n / p^k \rfloor}$ por lo tanto, el valor medio ponderado de los primos en la factorización de $n!$ es $\displaystyle \frac{\sum_{p \le n} p \sum_k \lfloor n / p^k \rfloor }{\sum_{p^k \le n} \lfloor n / p^k\rfloor} \sim \ldots$
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Lol, r12. Es sólo una pregunta por curiosidad. Nada más y nada menos. Sí, me refería exactamente al valor medio ponderado. Lo siento si no estaba claro al principio. Gracias por aclararlo.