Alternativo prueba de que $1+x+...+x^{p-1}$ es irreductible para el prime $p$

Question

Para $p$ prime, $P(x)=1+x+...+x^{p-1}$ es irreducible en a $\mathbb{Z}[x]$.

Este es un clásico problema para el cual no existe una solución inteligente que se aplica el criterio de Eisenstein a $P(x+1)$.

Sin embargo, creo que tengo otra solución, pero quiero asegurarme de que no ha hecho algún estúpido error:

---

Tenemos $P(x)(x-1)=x^p-1$. Para $f$ un polinomio en $\mathbb{Z}[x]$, vamos a $\overline{f}$ indican que la reducción de mod $p$, que es un polinomio en a $\mathbb{F}_p[x]$.

Por Fermat, tenemos que $\overline{P(x)(x-1)}=x-1$$\overline{(P(x)-1)} \overline{(x-1)}=0$. Pero $\mathbb{F}_p[x]$ es una integral dominio de lo $\overline{P(x)}=1$. Por lo tanto si $P=QR$ para los polinomios no constantes $Q,R$$\mathbb{Z}[x]$$\bar{Q}\bar{R}=1$. Por lo tanto $\bar{Q}$ $\bar{R}$ son polinomios constantes. Así, el líder de los coeficientes de $Q$ $R$ son divisibles por $p$, lo que significa que el coeficiente inicial de $P$ es divisible por $p$, una contradicción.

Answer 1

Esto no acaba de funcionar; si lo hiciera, la misma lógica para $x^{p^p}-1$; por ejemplo, decir $x^{27}-1$. Esto debería implicar $$ 1+x+\dots+x^{26} $$ es irreductible, pero no lo es, como puede comprobarse por wolfram. El problema es como @Wojowu señala en los comentarios.