Probar que un grupo de orden 112 es solucionable

Question

$|G|=112$, demuestran que, a $G$ es solucionable.

Ya he demostrado que $G$ no es simple, por lo que yo sé que ha subgrupo normal, pero no sé de qué orden. Otra solución que he probado estaba mirando a los subgrupos de sylow. En ese caso, si el 2-subgrupo de sylow es normal o 7-subgrupo de sylow es normal, entonces la solución es obvia, pero en el caso de que hay 7 2-subgrupos de sylow y 8 7-subgrupos de sylow, no sé cómo continuar.

Answer 1

El número de $112=2^4\cdot 7$ tiene factores primos $2$$7$. Por Burnside $p^aq^b$-teorema, todos los grupos de tal orden, que tiene sólo dos diferentes primos divisores, se pueden resolver. Para la orden de $p^aq$ la prueba no es difícil ver aquí.

En caso de que usted no desea utilizar Burnside del resultado, ya sabemos de la otra pregunta,

Prueba de que un grupo de orden $112$ no es simple

acerca de los subgrupos de Sylow. Por ejemplo, una posibilidad es la de que el grupo tiene un normal Sylow $7$-subgrupo $N$ orden $7$. Por lo tanto el cociente tiene orden de $2^4$ y es nilpotent (ya que es un $p$-grupo), por lo tanto solucionable. Ahora, si $N$ $G/N$ tienen solución, así que es $G$, y hemos terminado.

Answer 2

Otro enfoque es el de mostrar que todos los factores de composición de $G$ son de primer orden. $A_5$ es la única que no abelian simple grupo de orden $<100$: $G$ no es abelian simple grupo de orden $<100$ $G\cong A_5$

Desde $G$ no es simple como se ha afirmado, la composición de los factores de $G$ tener un orden no mayor que $56$. A la conclusión de que todos ellos son abelian, y por lo tanto cíclico de primer orden.

Bueno... el límite superior $100$ es más que suficiente. Sólo tiene que mostrar que no hay ninguna que no abelian simple grupo de orden no mayor que $56$.