Divergencias de opinión

Question

Me estoy preguntando lo que me falta de mi prueba. Me gustaría mostrar que el límite de la secuencia $$a_{n+1}=\sqrt{2a_n+3},\,\, a_1=4,$$ goes to $\infty$, as $n \rightarrow \infty$. Hay algo que debo agregar para hacer mi argumento más claro?

Prueba: Supongamos $M \in \mathbb{R}$. Elija $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $a_{n_0} > {(M^2-3)/2}$. Entonces, para cualquier $M$,$\sqrt{2a_n+3} > M$$n \geq n_0$.

QED

Answer 1

Esta secuencia no tienden a infinito y no es ilimitado.

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=3. $$

Prueba. Primero vamos a comprobar que la sucesión es decreciente. Claramente, $0<a_2=\sqrt{2\cdots 4+3}<4=a_1$. Inductivamente, si $a_k<a_{k-1}$,$\,0<a_{k+1}=\sqrt{2a_{k}+3}<\sqrt{2a_{k-1}+3}=a_{k}$. Por lo tanto, $\{a_n\}_{n\in\mathbb N}$ es menor y menor delimitada por $0$, y por lo tanto converge, decir a $a$. Pero $$ a_n\\quad\Longrightarrow a_{n+1}=\sqrt{2a_n+3}\\sqrt{2a+3}, $$ y, por tanto, $a=\sqrt{2a+3}$ o $a^2-2a-3=0$ o $(a+1)(a-3)=0$, y como $a_n>0$, $a\ge 0$ y, por tanto,$a=3$.

Answer 2

La prueba sólo puede demostrar que $\{a_n\}$ es ilimitado.

Deje $a_n=n\cos \frac{n\pi}{2}$. Aunque es ilimitado, sin embargo, no tiende $\infty$.

Answer 3

Lo que te falta en tu prueba: "Vamos a $M \in \mathbb{R}$. Elija $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $a_{n_0} > {(M^2-3)/2}$."

Impartió una $n_0$ existe ! Por lo general no como la sucesión es decreciente y $a_n\le4$.

Suponiendo que $n_0$ puede encontrar equivale a declarar la secuencia divergentes, un argumento circular.