Relación entre el diámetro y el área de un conjunto

Question

Puede que sea algo bastante básico y común, pero no he encontrado mucho después de un rato de búsqueda y yo mismo no he conseguido averiguarlo...

Tengamos un conjunto (conexo) $M$ y que $\text{diam}(M)$ sea su diámetro . ¿Qué tamaño puede tener su área?

En otras palabras, evalúa esta expresión: $$\sup_{M}\left\{\frac{\text{area}(M)}{\text{diam}^{2}(M)}\right\}$$

Por ejemplo $M$ sea un cuadrado de lado $a$ . Entonces:

$$\frac{\text{area}(\text{square})}{\text{diam}^{2}(\text{square})} = \frac{a^{2}}{\left( a\sqrt{2} \right)^{2}} = \frac{1}{2}$$

Estoy deseando ver un (boceto de una) prueba de tal cosa porque por muy simple que parezca no sé ni por dónde empezar...

Answer 1

Encontré una gran prueba de una página en http://www.math.ntnu.no/~hanche/blog/isodiametric.pdf .

Suponen que un punto de la frontera está en el origen y que la forma se encuentra en el semiplano superior. A continuación, utilizan coordenadas polares para el área:

$\int_0^{\pi} 1/2 (f(\theta))^2 d\theta$ y reescribirlo como

$1/2\int_0^{\pi/2} (f(\theta))^2 +(f(\theta+\pi/2))^2 d\theta$

El integrando es la longitud al cuadrado entre los puntos en $\theta$ y $\theta+\pi/2$ en el límite, que es como máximo $d^2$ . Así que el área más grande puede ser $(\pi d^2)/4$ .

El enlace tiene una foto estupenda.