Confuso (desorientado?) por preguntas sobre orientación

Question

Creo que tengo una razonable comprensión básica de la orientación. Sin embargo, me estoy encontrando a mí mismo muy confundido cuando se enfrenta a una pregunta específica. Aquí hay varios ejemplos:

1. Exposición ordenada base de la orientación positiva para $S^2$ (como un límite de $B^3$) en un punto arbitrario punto de $p=(a,b,c)$.

2. Deje $f: S^2 \to (-1,1)$, se gicen por $f:(x,y,z) \mapsto z$. Exposición ordenada base de la orientación positiva para un típico punto de en $f^{-1}(t)$.

3. Mostrar que el límite de la orientación de las $S^k = \partial B^{k+1}$ es la misma que la de su preimagen orientación dada por:

$$g:\mathbb{R}^{k+1} \to \mathbb{R}, g(x)= |x|^2$$

(Las preguntas son tomadas del libro "topología diferencial" por Guillemin y Pollack).

Mis problemas:

1. No acabo de entender cómo una respuesta se supone que se vea como. No podía acabo de decir $\{v_p,w_p\}$ es una base para$T_p S^2$, por lo que (si $n_p$ es exterior apuntando normal) de acuerdo a si $sign(n_p,v_p,w_p)$ es positivo o negativo que puede cambiar $v_p$ $w_p$ y obtener una orientación positiva?
2. Mismo problema con (1). Sólo que ahora hay otro problema. No estoy seguro de cuál es la correcta manera formal de computación en la orientación de una preimagen como $f^{-1}(t)$. Es justo ver el $(T_p f o \pi_p)^{-1}(1)$ donde $\pi_p: T_p S^2 \to T_p (f^{-1}(t))$ es la proyección?
3. De igual (2), además de algunos generales fuera de foco no específica de la confusión.

Debo decir que no tuve ningún problema con el capítulo en sí, todo fue hecho en una coordenada libre de manera que no se plantean estos problemas.

Gracias por la ayuda.

EDIT: En el libro un orinetation se define como una elección continua de la equivalencia de la clase en el espacio de la tangente en cada punto donde la relación es:

$$v \sim w \iff Av=w \text{ for some $$ with } |A| > 0$$

Me siento cómodo con la definición de un atlas con determinante positivo de transición de funciones.

Answer 1

Para empezar, aquí hay algunas sugerencias para la pregunta 1.

Comience con usted: un punto de $p \in S^1$ con coordenadas $p = (a,b,c)$.

Ahora, está bien el uso de los símbolos $v_p,w_p$ como nombres que representan orientación positiva vectores de la base para el espacio de la tangente de $S^2$ en el punto de $p$. Pero no se engañe a sí mismo: escribir los nombres de los vectores no es lo mismo que dar fórmulas para ellos. Las fórmulas deben ser las funciones de las coordenadas $a,b,c$ de el punto de $p$. En otras palabras, su respuesta debe tener el formato

• $v_p = \langle f(a,b,c), g(a,b,c), h(a,b,c) \rangle$
• $w_p = \langle k(a,b,c), l(a,b,c), m(a,b,c) \rangle$

donde $f(a,b,c)$ algunos es completamente explícito de la fórmula, como son $g$, $h$, $k$, $l$, y $m$.

La clave geométrica hecho de que usted necesita acerca de $S^2$ es que el vector normal de $S^2$ en el punto de $p=(a,b,c)$ es, precisamente,$\langle a,b,c\rangle$. Entonces usted también necesita que el espacio de la tangente en $p$ es, precisamente, el subespacio ortogonal del vector normal.

Entonces, usted sólo necesita hacer algo de álgebra lineal para encontrar las fórmulas para las funciones de la $f,g,h,k,l,m$, de modo que la matriz de $$\begin{pmatrix} a & b & c \\ f(a,b,c) & g(a,b,c) & h(a,b,c) \\ k(a,b,c) & l(a,b,c) & m(a,b,c) \end{pmatrix} $$ tiene determinante positivo, y para que su segunda y tercera filas son ortogonales a su primera fila. Las palabras clave aquí son "de Gram-Schmidt orthogonlization".