He encontrado el adjetivo "natural" muchas veces en mi lectura y creo que esto tiene algo que ver con teoría de categorías .
¿Podría alguien ilustrarme la idea que hay detrás de este adjetivo?
Muchas gracias de antemano
Respuestas
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"Natural" se refiere a algo que procede de un transformación natural entre dos functores ( functores siendo mapas entre categorías ). En particular, una transformación natural es un isomorfismo natural cuando cada uno de sus componentes son isomorfismos.
Como se explica en el artículo de Wikipedia $C$ y $D$ sean categorías (que pueden ser la misma), y que $F:C\rightarrow D$ y $G:C\rightarrow D$ sean functores (que también podrían ser lo mismo). Entonces una transformación natural no es más que una colección de morfismos $\eta_X:F(X)\rightarrow G(X)$ en $D$ uno por cada $X\in\text{Ob}(C)$ tal que para cualquier morfismo $f:X\rightarrow Y$ en $C$ tenemos $$\eta_Y\circ F(f)=G(f)\circ \eta_X$$
Intuitivamente, la idea de una transformación natural es que es un mapa entre funtores, igual que un funtor es un mapa entre categorías. Esto puede hacerse riguroso construyendo una nueva categoría (denominada categoría functor $\text{Funct}(C,D)$ ), cuyos objetos son functores de $C$ a $D$ y los morfismos son precisamente las transformaciones naturales.
En ejemplos que aparecen en el artículo de Wikipedia también son buenas ilustraciones de cómo se producen las transformaciones naturales; si necesitas ayuda para entenderlas, quizá puedas hacer una pregunta específica sobre el ejemplo.
Kostas
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Como complemento a la respuesta de Zev, el natural adjetivo se utiliza en transformación natural por varias razones convergentes, vinculadas a las raíces de la teoría de categorías en la homología y la teoría de la representación de objetos algebraicos.
¿Qué es la natural es que un conjunto de functores entre las mismas dos categorías ( $C$ y $D$ para tomar la notación de Zev) puede considerarse una categoría si sus flechas (transformación entre funtores) preservan propiedades topológicas clave de la relación entre $C$ y $D$ .
Para transferir esto a una familia de ejemplos limitada pero más explícita, si ves los functores como calculando invariantes , clases características , objetos derivados etc. de objetos en $C$ (objetos algebraicos, espacios, funciones, etc.) como miembros de $D$ (grupos, anillos, cardinales de conjuntos, árboles, etc.), la conmutatividad del diagrama entre funtores y una transformación natural produce restricciones muy fuertes en ambos y permite seleccionar nociones matemáticas (es decir, funtores específicos) según su compatibilidad y coherencia mutuas, su red de relaciones ( transformaciones naturales ) se convierten en los verdaderos objetos de estudio ( los naturales dirían algunos matemáticos) y subsumir el estudio inicial de los objetos en la categoría $C$ a través de las invariantes expresadas en $D$ si $D$ está bien elegido (véase también el Lemma de Yoneda cuando $C=D$ ).
Esta es una forma de ver el camino desde el estudio de las ecuaciones polinómicas hasta el estudio de la teoría de Galois, o el camino desde el estudio de la simetría de objetos geométricos regulares hasta el estudio de las representaciones de grupos entre otros (véase una de las otras respuestas para la ilustración con grupos de homotopía).
Esto nos da una pista de que la teoría de categorías es un potente acelerador de la abstracción y de la exploración de conceptos regulares. La naturalidad también tiene sus inconvenientes, pero éste no es el tema que nos ocupa.
Aleksandr Levchuk
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La naturalidad a un nivel inferior a veces se refiere a la functorialidad: por ejemplo, el grupo fundamental $\pi_1$ es "natural" porque $\pi_1$ es un functor $\mathbf{Top}^* \to \mathbf{Grp}$ así que si tienes un mapa continuo $f : X \to Y$ se obtiene un homomorfismo $f_* : \pi_1(X, x) \to \pi_1(Y, f(x))$ .
Un ejemplo de isomorfismo "natural" es el isomorfismo canónico entre un espacio vectorial de dimensión finita $V$ y su doble $V^{**}$ . De nuevo, esto es natural porque el doble-dual $(-)^{**}$ es un functor $\mathbf{Vec} \to \mathbf{Vec}$ . Es canónico porque, en cierto sentido, no hay elección. También es natural en el sentido técnico: existe una transformación natural $\eta$ del funtor identidad al funtor doble-dual $(-)^{**}$ y el componente $\eta_V : V \to V^{**}$ de $\eta$ en cada espacio vectorial de dimensión finita es un isomorfismo.
