Representantes del spinor en espacio-tiempos de $\mathbb{R}^{1,3}\times{}B$

Question

Estoy considerando spinors en un espacio-tiempo que es $\mathbb{R}^{1,3}\times{}B$ $B$ un compacto colector de $D$ dimensiones.

Sé que en el ordinario de 4 dimensiones espacio-tiempo spinors son representaciones de $O(1,3)$. Ahora, en mi caso, son spinors espera para ser representantes de $O(1,3+D)$?

¿La compacidad de $B$ imponer algunas restricciones a esto? Tengo la sensación de que tenemos que esperar spinors a ser representantes de $O(1,3)\times{}O(D)$ ya que no siento que lo que un aumento en el espacio compacto es permitido, pero no estoy seguro.

Cualquier aclaración sobre los representantes de spinors en el mencionado espacio de tiempo será muy apreciada.

Answer 1

En 3+1 dimensiones spinors no se transforma en virtud de las representaciones de $O(1,3)$, pero en virtud de las representaciones de la cobertura de grupo $\operatorname{Spin}(1,3)$, que tiene la misma Mentira de álgebra. La estructura de grupo de un semi-Riemann colector está determinado por la métrica de la firma. Por tanto, si la métrica es tal que $B$ es spacelike, spinors transformaría en $\operatorname{Spin}(1,3+D)$.

(A definir lo que quiero decir con la estructura de grupo: es siempre posible, a nivel local, encontrar un conjunto de campos vectoriales tales que la métrica es la diagonal. Esto es desde que con respecto a una base local de campos vectoriales de la métrica en cada punto en el espacio-tiempo es una matriz simétrica. La estructura del grupo es el grupo de transformaciones lineales que conserva esta forma de la métrica. De hecho, el grupo de Lorentz es a menudo definido como el grupo que preserva $\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$. Por Sylvester ley de la inercia de la estructura del grupo está bien definido.)

Un impulso a lo largo del compacto de direcciones está permitido, porque localmente el espacio se ve como $\mathbb{R}^{1,3+D}$ (para un spacelike $B$). Puede ser que la métrica se puede convertir en una forma de $$ds^2 = ds_0^2 + dB^2$$ donde $ds_0^2$ es distinto de cero sólo para los vectores de la tangente a $\mathbb{R}^{1,3}$ $dB^2$ es distinto de cero sólo para los vectores de la tangente a $B$. A continuación, $O(1,3) \times O(D)$ es el grupo que conserva esta forma, pero la estructura de grupo es más grande, ya que podemos, por ejemplo, la mezcla de las coordenadas en la $\mathbb{R}^{1,3}$ y en $B$.

La compacidad, o más bien la topología de $B$, sólo puede introducir en la que hay un topológica de la obstrucción de manera consistente la definición de spinors en un colector. Esta condición es global y por tanto, si el espacio de $B$ no es lo suficientemente bueno, $R^{1,3} \times B$ puede incluso no tener spinors. La formulación técnica de la condición es que el segundo Stiefel-Whitney de la clase debe desaparecer.