Límite de una serie geométrica

Question

Estoy tratando de practicar para un examen de precálculo, pero hay esta oveja negra que solo no puedo averiguar.

$$\lim_{n\to \infty} \dfrac{\sqrt[n]{e}+\sqrt[n]{e^2}+\sqrt[n]{e^3}+...+\sqrt[n]{e^n}}{n}$$

Utilizamos generalmente la suma estándar de una serie geométrica para resolver límites similar $S_n = a_1 \dfrac{q^n-1}{q-1}$. Me trató de simplificar la serie y me $\sqrt[n]{e+e^2+e^3+...+e^n}$. Intenté utilizar el fórmula para terminar con $e \dfrac {e^n-1}{e-1}$. Pero luego me sale pegado.

Answer 1

Se debe tener cuidado, $$\sqrt[n]{e} + \sqrt[n]{e^2} + \cdots + \sqrt[n]{e^n} \neq \sqrt[n]{e + e^2 + \cdots + e^n}$ $

En cambio usted notara que el numerador puede ser escrito como $$\sum_{k=1}^n e^{k/n},$ $ y esto se convierte en una suma de Riemann:

$$\lim_{n\to \infty} \frac1n \sum_{k=1}^n e^{k/n} = \int_0^1 e^x dx$$

Answer 2

La simplificación no es válida, pero tenga en cuenta que el límite es de %#% $ de #% cual puede ser ampliado utilizando la fórmula de la suma geométrica de $$\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{k=1}^n e^{\frac kn}$ para obtener: $e^{\frac1n}$ $

Answer 3

Que $a=\sqrt[n]{e}$. Entonces $$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{e}+\ \cdots\ + \sqrt[n]{e^n}}{n}&=\lim_{n\to\infty}\frac{a+a^2+\ \cdots\ + a^n}{n}\\ \text{(summing a geometric series)}\quad &=\lim_{n\to\infty}\frac{a}{n}\cdot \frac{a^{n}-1}{a-1}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{e}}{n}\cdot \frac{e-1}{\sqrt[n]{e}-1}\\ &=(e-1)\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{1-e^{-1/n}}\\ &=(e-1)\lim_{x\to 0}\frac{x}{1-e^{-x}}\\ \end{align*} $$ para evaluar $\lim_{x\to 0}\frac{x}{1-e^{-x}}$, regla de l ' hospital (superior e inferior tienden a 0). Obtenemos $$ \lim_{x\to 0} \frac {x} {1-e ^ {-x}} = \lim_ {x\to 0} \frac {1} {e ^ {-x}} = 1. $$ Por lo tanto su límite es $e-1$.

Answer 4

No verdad que

$$\sqrt[n]e+\sqrt[n]{e^2}+\ldots+\sqrt[n]{e^n}=\sqrt[n]{e+e^2+\ldots+e^n}\;.$$

Sin embargo, si $a=\sqrt[n]e$, entonces

$$\sqrt[n]e+\sqrt[n]{e^2}+\ldots+\sqrt[n]{e^n}=a+a^2+\ldots+a^n=\frac{a^{n+1}-a}{a-1}\;,$$

así que si desea utilizar la fórmula para la suma de una serie geométrica, usted debe estar mirando

$$\lim_{n\to\infty}\frac{e^{1/n}\left((e^{1/n})^n-1\right)}{n(e^{1/n}-1)}=(e-1)\lim_{n\to\infty}\frac{e^{1/n}}{n(e^{1/n}-1)}\;.$$

Esto puede ser manejado con la regla de l ' hospital. (Hay más formas de evaluar el límite original, como ya ha señalado al menos una respuesta).