Problema de maximización de triángulo y el círculo

Question

Así que yo estaba jugando GeoGebra y encontrar esta cosa, no sé si este problema tiene un nombre o algo.

El triángulo ABC está inscrito dentro de un círculo, desde el punto D que se encuentra en el interior del círculo, nos dibuja 3 líneas perpendiculares a cada lado del triángulo, ¿cuál es el área del triángulo cuyos vértices son las intersecciones de las líneas perpendiculares y de los lados del triángulo? (máximo del área del triángulo EFG, el triángulo rojo en la imagen)

El uso de Geogebra me enteré de que esta área siempre es máxima cuando el punto D se encuentra en el centro del círculo, o en otras palabras, cuando el perpendiculares dividir los lados en 2 partes iguales.

Si alguien pudiera dar una prueba/explicar por qué, le estaría agradecido.

Ver el diagrama de abajo:

Answer 1

$+1$ por re-descubrir esta cuidada propiedad de pedal de triángulos: el área es proporcional a la potencia de un punto con respecto a la circunferencia circunscrita, en otras palabras, que sólo depende de la distancia desde el punto hasta el circuncentro del triángulo original:

$$ S_{EFG}=\frac{R^2-OD^2}{4 R^2} \,S_{ABC} $$

Mathworld cita en esta Johnson, R. A. Moderna de la Geometría Elemental, Tratado sobre la Geometría del Triángulo y el Círculo. Boston: Houghton Mifflin, 1929.

Una prueba se puede encontrar por ejemplo en la de cortar el nudo.