Para demostrar que un localmente compacto Hausdorff espacio de $X$ es regular, se puede considerar el punto de compactification $X_\infty$ (esto no es necesario, consulte la respuesta aquí, pero tengan paciencia conmigo). Desde $X$ es localmente compacto Hausdorff, $X_\infty$ es compacto Hausdorff. Como resultado, $X_\infty$ es normal.
Imitando en mi la idea de la prueba en el enlace de arriba y teniendo en cuenta la corrección se señaló en la respuesta, vamos a $A,B\subseteq X$ dos disjuntos, conjuntos cerrados en $X$, y considerar la posibilidad de $X_\infty$. Desde $X_\infty$ es normal, existen abiertos disjuntos conjuntos de $U,V \subseteq X_\infty$ tal que $A\subseteq U$$B \subseteq V$. Considerando entonces $X$ como un subconjunto de a $X_\infty$, podemos tomar el de abrir conjuntos de $U \cap X$ $V \cap X$ como discontinuo, abrir los subconjuntos de a $X$ que contengan $A$$B$, respectivamente...o eso pensaba yo. Puedo ver a partir de las respuestas a esta pregunta que esta no tiene éxito en la demostración de que un localmente compacto Hausdorff espacio es normal, ya que esto no es cierto.
Así que mi pregunta es sencilla: ¿por qué la anterior prueba no?
Gracias.
