Esta pregunta quizás corre el riesgo de cerrarse debido a la (en mi opinión) enorme amplitud de la pregunta principal, pero intentaré responder a las preguntas específicas que se formulan a continuación. Asumiré que "cálculo introductorio" significa simplemente cálculo diferencial e integral monovariable y multivariable.
Un análogo de una colector diferenciable es (muy aproximadamente) cualquier cosa sobre la que se integre: un intervalo $(a, b) \subset \Bbb R$ una curva en $\Bbb R^2$ o $\Bbb R^3$ una región en $\Bbb R^2$ o $\Bbb R^3$ una superficie en $\Bbb R^3$ etc. (También se podría considerar que el análogo es, incluso de forma más aproximada, "cualquier cosa que admita un campo vectorial tangente", aunque quizás esté menos claro intuitivamente por qué $(a, b)$ pertenece a esta lista).
Los gráficos (suaves) no son lo mismo que las funciones, ya que siempre deben ser difeomorfismos, y en particular homeomorfismos, mientras que las funciones suaves ni siquiera necesitan ser biyecciones. Hay que pensar en los gráficos como los inversos de las parametrizaciones difeomorfas, por ejemplo, de curvas y superficies; al igual que algunas superficies (por ejemplo, la $2$ -esfera) no admiten parametrizaciones que sean difeomorfismos, es decir, que cubran toda la superficie a la vez de forma agradable, en general los colectores no pueden ser cubiertos con una sola carta.
Y sí, los campos vectoriales son aproximadamente un análogo para los operadores diferenciales $\partial_{x^i}$ en $\Bbb R^n$ . Pero, los campos vectoriales en el cálculo multivariable son sólo un caso especial de los campos vectoriales en las variedades diferenciables, y cualquier elección de la carta en una variedad diferenciable determina campos vectoriales de coordenadas en el dominio de esa carta (y en general, el cambio de la carta cambia esos campos vectoriales). Además, el Teorema de Clairaut afirma que las derivadas parciales mixtas de funciones suaves $f$ conmutar, es decir, por ejemplo, $\partial_x \partial_y f = \partial_y \partial_x f$ pero en general los campos vectoriales no lo hacen; más bien, para dos campos vectoriales cualesquiera $X, Y$ obtenemos un nuevo campo vectorial $[X, Y]$ (llamado Soporte de la mentira de $X$ y $Y$ ) caracterizado únicamente por la fórmula $X \cdot (Y \cdot f) - Y \cdot (X \cdot f) = [X, Y] \cdot f$ .
No has preguntado por esto específicamente, pero ya que es fundamental, especialmente a la luz de la descripción anterior de que una variedad diferenciable es algo sobre lo que se integra, señalaré que el Teorema de Stokes, normalmente escrito como $$\int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega$$ generaliza todos los conocidos "Teoremas Fundamentales del Cálculo" del cálculo monovariable y multivariable, incluyendo el C.F. de una sola variable, el C.F. de las integrales de línea, el Teorema de Green, el Teorema de Gauss (también conocido como Teorema de la Divergencia) y el Teorema (clásico) de Stokes.
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Un colector diferencial es básicamente un mosaico de regiones que son efectivamente planas, es decir, sus gráficos de coordenadas. Así, puedes reducir el problema del cálculo en una superficie complicada al cálculo en el espacio euclidiano, que ya sabes cómo hacer. Pero en el espacio plano la mayoría de los conceptos de la geometría diferencial carecen de interés, por ejemplo, los espacios euclidianos son orientables, no tienen curvatura, los espacios tangentes son triviales, las geodésicas son líneas rectas, etc.