$f$ El sostenedor continuo con el exponente del sostenedor $p>1 \implies f \text { is constant}$

Question

Digamos que tengo una función en un intervalo $I$ en $ \mathbb {R}$ $f: I \to Y $ donde $Y$ es cualquier espacio métrico. Digamos $f$ satisface $d_{Y}(f(y), f(x)) \leq C \cdot |y-x|^p$ para todos $y,x \in I$ donde $p \in (1, \infty )$ es decir. $p$ es más grande que $1$ (así que esto es mucho más fuerte que la mera continuidad del titular). Quiero mostrar que $f$ es constante en $I$ .

Esto es lo que tengo hasta ahora. $f$ es obviamente continuo. Además, tiene sentido intuitivo para $f$ para ser constante, ya que $p >1$ hará $|y-x|^p$ muy pequeño para para $|y-x| \ll 1$ .

También siento que tengo que mirar la expresión $$ \frac {d_{Y}(f(y), f(x))}{|y-x|} \leq C \cdot |y-x|^{p-1}$$ (Nota: Aquí no existe la noción de diferenciación). También estoy pensando que dividir el intervalo $[x,y]$ (asumiendo que $x<y$ ) me ayudará así:

$$d_{Y}(f(y), f(x)) \leq\sum_ {k=1}^{k=n}d_{Y}(f(x_k), f(x_{k-1})) \leq C \cdot\sum_ {k=1}^{n} |x_k-x_{k-1}|^p = \sum_ {k=1}^{n} ( \frac {1}{n})^p = n^{1-p} $$

$ (y = x_n, x = x_0)$ .

¿Es esta la respuesta, esa última cadena de igualdad?

Editar: Esa última cadena de ecuaciones, como se sugiere en los comentarios que siguen, debería ser $$d_{Y}(f(y), f(x)) \leq\sum_ {k=1}^{k=n}d_{Y}(f(x_k), f(x_{k-1})) \leq C \cdot\sum_ {k=1}^{n} |x_k-x_{k-1}|^p $$ $$= C \sum_ {k=1}^{n} ( \frac {|y-x|}{n})^p =|y-x|^p n^{1-p} $$

Answer 1

Su enfoque de dividir el intervalo es esencialmente correcto. Aquí está en detalle.

Deje que $x$ y $y$ ser dos puntos distintos en $I$ . Sin perder la generalidad, supongamos $x <y$ . Dividiendo $[x, y]$ en $n$ intervalos de longitud $ \frac {|y-x|}{n}$ Tenemos $n+1$ puntos $x_k$ de tal manera que $x=x_0 < x_1 < \dots <x_{n-1} < x_n=y$ y $|x_k -x_{k-1}| = \frac {|y-x|}{n}$ . Así que tenemos

\begin {alineado*} d_{Y}(f(y), f(x))& \leq\sum_ {k=1}^{k=n}d_{Y}(f(x_k), f(x_{k-1})) \leq C \cdot\sum_ {k=1}{n} |x_k-x_{k-1}|^^p = \\ &=C \sum_ {k=1}{n} \left ( \frac \right )^p =C|y-x|^p n^{1-p} \end {alineado*}

Ahora, note que como $n \to \infty $ Tenemos $C|y-x|^p n^{1-p} \to 0$ y por eso tienes que $d_{Y}(f(y)- f(x))=0$ . Así que $f(y)=f(x)$ . Desde entonces, $y$ y $x$ son puntos arbitrarios en $I$ se deduce que $f$ es constante.

Answer 2

¡Estás muy cerca! Asumamos que existe $x,y \in I$ con $x<y$ de tal manera que $f(x) \neq f(y)$ y dejar: $$x_i(n)=x+ \frac {i}{n}(y-x),\ i=0,1,2, \dots ,n$$ para cada $n \in\mathbb {N}$ Entonces, tenemos eso: $$ \begin {align*} d_Y(f(y)-f(x))=&d_Y(f(x_n(n))-f(x_{n-1}(n))+f(x_{n-1}(n))- \dots -f(x_2(n))+f(x_2(n))-f(x_1(n))) \leq\\ \leq & \sum_ {i=1}^nd_Y(f(x_i(n))-f(x_{i-1}(n))) \leq\sum_ {i=1}^nC|x_{i}(n)-x_{i-1}(n)|^p= \\ =&C \sum_ {i=1}^n \frac {|y-x|^p}{n^p}=C|y-x|^pn^{1-p}=:d_n \end {align*}$$ Ahora, ya que $d_n \overset {n \to\infty }{ \longrightarrow }0$ desde $1-p<0$ tenemos eso, por $ \epsilon =d_Y(f(y)-f(x))>0$ existe un $n_0$ de tal manera que..: $$d_{n_0}< \epsilon $$ lo cual es una contradicción, ya que $ \epsilon\leq d_n$ .

Así que $f(x)=f(y)$ para cada $x,y \in I$ .

Nota: Era importante que pudiéramos separarnos $I \subseteq\mathbb {R}$ a "trozos" infinitamente pequeños.