$\int_1^{\infty}\frac{x \cos(x)^2}{1+x^3}$ ¿Es convergente o divergente?

Question

Para la integral $$I= \int_1^{\infty}\frac{x \cos^2(x)}{1+x^3},$ $ ¿cómo probar esto para la convergencia o divergencia?

Sé que esto una integral impropia, sin embargo no se puede solucionar así tendría que usar una prueba de comparación para esto.

¿La prueba de comparación consistiría en: Si $\cos(x)<1$ entonces nos podemos utilizar $1/(1+x^3)$ para demostrar que converge?

Sin embargo... ¿Cómo puedo comparar la ecuación donde hay un $x$ en el numerador de la ecuación original? ¿Necesito utilizar algo más para compararlo con en cambio? Gracias.

Answer 1

Observe que $\cos^2(x) \leq 1$, por lo tanto $$\frac{x \cos^2(x)}{1+x^3} \leq \frac{x}{1+x^3}.$$ You also know that $$\frac{1}{1+x^3} \leq \frac{1}{x^3}$$ for $x \in (1, \infty)$. Therefore $$\frac{x \cos^2(x)}{1+x^3} \leq \frac{x}{x^3} = \frac{1}{x^2}.$$

Answer 2

Considerar comparando así: $$\frac{x\cos^2 x}{1+x^3} \le \frac{x}{1+x^3} \le \frac{1}{x^2}$ $

También se puede hacer limitar la comparación a $\frac{x}{x^3}$.