Cómo probar que $\mathsf{bd}(\mathsf{bd}(\mathsf{bd}(W)))= \mathsf{bd}(\mathsf{bd}(W))$

Question

$\newcommand{\bd}{\operatorname{bd}}$ Prueban que el $\bd(\bd(\bd(W)))=\bd(\bd(W))$% #% Dónde está un subconjunto del espacio topológico $W$ #%.

Answer 1

Un conjunto de $A$ es igual a su propio límite y sólo si es cerrado y está contenida en el cierre de su complemento. Ahora sólo necesita demostrar que esta propiedad está satisfecho por el conjunto en cuestión.

Answer 2

$\DeclareMathOperator{\bd}{bd}$ Demostrar que:

1. Si es cualquier subconjunto de $W$ $X$ $\bd(W)$ está cerrado;
2. Si $Y$ es cualquier subconjunto cerrado de $X$, entonces el $\bd(\bd(Y)) = \bd(Y)$.

Answer 3

$\DeclareMathOperator{\cl}{cl} \DeclareMathOperator{\Int}{en} \DeclareMathOperator{\bd}{bd}$I will denote closure by $\cl$ and interior by $\Int$.

$\bd(W)=\cl(W)-\Int(W)$, por lo que

$$\eqalign{\bd(\bd(W))&=\cl(\cl(W))-\Int(\Int(W))-\Int(\cl(W)\Int(W))\cr&= \cl(W)\Int(W)\Int(\cl(W)\Int(W)),}$$ pero $$\eqalign{\bd(\bd(\bd(W)))&=\cl(\cl(W)-\Int(W)-\Int(\cl(W)-\Int(W)))\cr&-\Int(\cl(W)-\Int(W)-\Int(\cl(W)-\Int(W)))\cr &=\cl(W)\Int(W)\Int(\cl(W)\Int(W))\cr&-(\Int(\cl(W)\Int(W))+\Int(\cl(W)\Int(W))\cr &=\cl(W)\Int(W)\Int(\cl(W)\Int(W))\cr &=\bd(\bd(W)).}$$