Probar una secuencia de Cauchy da algunas cualidades sobre la secuencia

Question

Tengo un % de la secuencia $x_n$que yo he probado $b\leq x_n \leq c$ y $|x_{n+1}-x_{n}|\leq \frac{4}{9}|x_n-x_{n-1}|$

Sin embargo no estoy muy familiarizado con las secuencias de Cauchy, así que no sé cómo exactamente probar es Cauchy. He conseguido hasta ahora:

Que $m,n>0$. Entonces $m=n+a$. Así\begin{align*} |x_m-x_n| &= |x_{n+a}-x_n|\\ &= |(x_{n+a}-x_{n+a-1})+(x_{n+a-1}-x_{n+a-2})+\ ...\ +(x_{n+1}-x_n)|\\ &\leq a|x_n-x_{n-1}| \end{align*}

Sé que estoy cerca, pero no sé dónde ir desde aquí.

EDICIÓN:\begin{align*} |x_m-x_n| &= |x_{n+a}-x_n|\\ &= |(x_{n+a}-x_{n+a-1})+(x_{n+a-1}-x_{n+a-2})+\ ...\ +(x_{n+1}-x_n)|\\ &\leq \Sigma_{i=1}^{i=a}(\frac{4}{9})^i * |x_{n}-x_{n-1}|\\ &\leq (c-b)\frac{4}{9}\cdot \frac{1-(4/9)^a}{5/9}\\ &\leq \frac{4}{5}(c-b)(1-(\frac{4}{9})^a) \end{align*}

Pero ahora no sé cómo decir que es de Cauchy.

EDIT 2:

$$\frac{4}{5}(c-b)(1-(\frac{4}{9})^a) \leq \frac{4}{5}(c-b)$$

Así que $n_0 = \epsilon * \frac{5}{4(c-b)}$. Entonces para cualquier $\epsilon > 0$, $|x_m-x_n|<\epsilon$ cuando $m,n > \frac{5}{2}\epsilon$.

Answer 1

Lo que tienes es que $x_{n}$ es una secuencia de contracción, que $|x_{n+1} - x_{n} | \le C |x_{n} - x_{n-1}|$ % todo $n \ge N$, $0 < C < 1$. Tienes $C = \frac{4}{9}$. Teorema: Una secuencia contractiva es una secuencia de Cauchy, así que es suficiente para utilizar el teorema.

Pero si quieres probarlo (deberías probar), en general es el mismo paso que tengas hasta ahora, entonces utilice la sugerencia de @julien con serie geométrica de razón $C$.