Supongamos que traté de tomar Hartshorne capítulo II y volver a hacer todo esto con no-conmutativa anillos en lugar de anillos conmutativos. Es esto posible? Qué partes de trabajo en la no-conmutativa de configuración y que las partes no?
Edit: yo también la bienvenida a cualquier comentario/referencias con respecto a cualquier razonable nociones de ningún tipo de "no-conmutativa geometría algebraica".
Creo que es útil recordar que hay diferencias básicas entre la conmutativa y no conmutativa la configuración, que no pueden ser eliminados simplemente por dispositivos técnicos.
En un nivel básico, los desplazamientos de los operadores sobre una finito-dimensional espacio vectorial puede ser al mismo tiempo diagonalized [añadido: técnicamente, debo decir superior triangularized, pero no me deja no se preocupe acerca de esta distinción aquí], pero esto no es verdad de la no-desplazamientos de los operadores. Esto ya sugiere que uno no puede en ningún modo tan ingenuo definir el espectro de un no-conmutativa anillo. (Recuerde que todos los anillos son moralmente anillos de operadores, y que el espectro de un anillo conmutativo tiene el mismo significado que el [añadido: simultánea] espectro de una colección de desplazamientos de los operadores.)
En un nivel superior, suponga que $M$ y $N$ se finitely módulos generados a través de una conmutativa anillo $A$ que $M\otimes_A N = 0$, entonces $Tor_i^A(M,N) = 0$ para la totalidad de los $i$. Si $a$ es no-conmutativa, esto ya no es cierto en general. Esto refleja el hecho de que $M$ y $N$ no tienen bien definido apoya en algunos de hormigón espectro de $A$. Esta es la razón por la localización no es posible (al menos en cualquier ingenuo sentido) en general, en la no-conmutativa de configuración. Es el mismo fenómeno como el principio de incertidumbre de la mecánica cuántica, y se manifiesta de la misma manera: los objetos no pueden ser localizados en los puntos en los no-conmutativa de configuración.
Estas son las verdaderas complejidades que se tienen que afrontar en cualquier estudio de la geometría no conmutativa. Ellos son los mismos a los que se enfrentan los estudiantes que comienzan la primera vez que descubra que, en general, las matrices no conmutan. Yo diría que son reales, fascinante y difícil, y la gente ha puesto, y actualmente se está poniendo mucho esfuerzo en la comprensión de ellos. Pero está lejos de ser sólo la generalización de las declaraciones en Hartshorne.
Hay 2 problemas importantes en la ampliación de Hartshorne chp 2 a la no conmutativa caso.
La primera es una buena definición de un espacio topológico y una estructura de gavilla en él de modo que uno se recupera el anillo de nuevo como su mundial secciones.
El segundo es la falta de functoriality.
Se han formulado varias propuestas para un no conmutativa la estructura de la gavilla. Como espacio topológico uno ha tomado el conjunto de todos los bilaterales primer ideales o el espacio de primer torsión functors. En el primer ideales algunas gavillas de los anillos han sido definidos por simétrico o bimodule localizaciones de tal manera que uno se recupera el anillo de nuevo como el mundial de secciones (al menos en el Noetherian caso). En el primer torsión espacio esta falla.
Sin embargo, un ringmorphism a-->B no, en general, inducir un mapa sobre las bilaterales primer ideales (excepciones notables son Procesi central de extensiones, explicando por qué la funcionalidad no es problema en la conmutativa caso).
Es principalmente el fracaso de functoriality que ha llevado a algunas personas a DEFINIR Mod(a) como el 'gavillas coherente de los módulos de un inexistente espacio asociado a Una'. Claramente, cualquier ringmorphism a-->B define un functor Mod(B)-->Mod(Una). Mientras uno está interesado en homológica/propiedades geométricas de las cosas puede ser extendido a la no conmutativa mundo. Algunos podrían argumentar que en esta propuesta que se está haciendo de la categoría de la teoría en lugar de la geometría, en su defecto topológico, espacio y estructura de las poleas.
Supongo que hay cierto consenso en estos días en los que no existe una ÚNICA " de la geometría no conmutativa adecuado para todas las álgebras no conmutativas. Es decir, dependiendo de la clase de álgebras de bajo investigación uno podría considerar la posibilidad de otros espacios/poleas. Por ejemplo, para PI-rings (aproximadamente anillos finitos través de su centro), uno puede ir una manera larga de la definición de todo a través de la central de sistema o mediante la consideración de los módulos de espacios finitos representaciones tridimensionales. Por otro lado, para el filtrado de los anillos con asociados clasificados en un anillo conmutativo, que podría ser más fructífero para tomar las poleas de micro-localización. Etc. etc.
Intenta llegar lo más cerca posible a Hartshorne se hicieron en el 70ties, así que si quieres usar algo de eso, un buen punto de partida podría ser el de los libros (muchos en la Dekker serie de la monografía o en Springer de la LNM), por Golan (primer torsión teorías), Van Oystaeyen et al (primer ideales) o Procesi (PI-álgebras y GIT).
La respuesta corta es que si se trató de hacer esto, usted estaría consiguiendo en muchas (matemática) problemas. Hubo una serie de papeles y memorias de Alexander Rosenberg dedicado a este problema, con títulos como "no conmutativa afín a los esquemas", "no conmutativa local álgebra", "no conmutativa la globalización", "no conmutativa esquemas", etc., algunos de ellos, al parecer, todavía inédito (por razones que no me conocen). Esto culminó en el papel "no conmutativa suave espacios", por Kontsevich y Rosenberg, disponible desde el arXiv. Apenas rastros de Hartshorne del Capítulo II de la exposición permaneció en esta aproximación final.
El problema es que la categoría de (no necesariamente conmutativo) los anillos no tiene todas las propiedades atractivas de la categoría de anillos conmutativos. La primera y más evidente obstáculo viene uno cuando trata de definir el espectro, ya que hay tres diferentes opciones válidas para el primer ideales (a la izquierda, a la derecha o a dos caras); mediante la selección de dos caras ideales que uno podría definir la topología de Zariski bien, pero normalmente no conmutativa anillos no tienen suficiente a dos caras primer ideales para hacer de la no conmutativa espectro muy interesante. Entre otras cosas, en general, no es posible reconstruir el anillo del espectro. Como alguien me dijo una vez, "no importa cómo se defina un punto en un no conmutativa espacio, nunca hay suficiente de ellos".
Más sutil de que surjan problemas en el nivel de la localización, de la mano de la necesidad de imponer el Mineral de condiciones, pero incluso para los anillos que les satisface uno todavía tiene el problema de que para no conmutativa anillos de localización functors no conmuta con cada uno de los otros. Un posible desvío alrededor de este problema fue tomada a finales de los setenta y principios de los ochenta (en lo que podría ser llamado el origen de no conmutativa la geometría algebraica) por Fred Van Oystaeyen, se refiere principalmente a la sustitución de la ingenua noción de primer espectro más sutiles (torsión del espectro, la localización del espectro). Una más reciente summatry de esos puntos de vista, y su desarrollo está en el libro de Van Oystaeyen la Geometría Algebraica para Álgebras Asociativas.
Edit: Después de que Kevin aclaración, un buen estudio sobre la historia y los diferentes enfoques para no conmutativa la geometría algebraica se puede encontrar en la entrada no conmutativa la geometría algebraica en nLab.
Uno de los grandes problemas es el de la localización. No todos los anillos pueden ser localizados. Es casi seguro que necesita para restringir a los anillos de satisfacer el Mineral de Condiciones. Sin embargo, muchos de los naturales de los anillos satisfacen, por ejemplo, "casi conmutativa" anillos de hacer. Estos son filtrados anillos cuyos asociados gradual anillo es conmutativo. Entre los anillos de este formulario es el anillo de diferencial lineal de los operadores sobre un subconjunto abierto de una variedad, y la localización de las obras, por lo que obtener una gavilla, y se puede ver en módulos, etc, se llaman D-módulos.
Pero de todos modos, las primeras cosas que hacer es decidir sobre una clase de anillos donde se puede localizar (o si usted no puede, usted REALMENTE necesita volver a trabajar en las cosas de la parte inferior) y, a continuación, usted necesita decidir si usted está mirando a la izquierda, derecha o bimodules, incluyendo si vas a buscar en el prime izquierda/derecha/dos caras, ideales, etc.
ADVERTENCIA: soy un nonexpert en no conmutativa AG, que conozco a un par de lugares donde el nivel de las cosas en la conmutativa AG romper un poco.
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